因式分解1

因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例1 分解因式：

22

（1）x－3x＋2； （2）x＋4x－12； （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成

2

－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x－3x＋2中的一次项，所以，有

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1 x x 1 －1 －2 －ay －1

1 x x 1 6 －2 －by －2

图1．2－3 图1．2－1 图1．2－4 图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．

（2）由图1．2－3，得

x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得

x?(a?b)xy?aby＝(x?ay)(x?by) （4）xy?1?x?y＝xy＋(x－y)－1

＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．

练习：

把下列各式分解因式：

（1）x?5x?6?__________________________________________________。 （2）x?5x?6?__________________________________________________。 （3）x?5x?6?__________________________________________________。 （4）x?5x?6?__________________________________________________。 （5）x??a?1?x?a?__________________________________

22222

22x y

－1 1

图1．2－5

2（6）2x?7x?3? 。 （7）6x?7x?2? 。 （8）2x?7x?3? 。 例2：分解因式

2（1）x?2x?8 （2）(a?b)?4(a?b)?3

42222

1

同步练习：

（1）x?5x?4 （2）x2y2?3xy?2 （3）(x?y)2?3(x?y)?4

例3：分解因式

（1）x2?3xy?2y2 （2）3a2x2?15a2xy?42a2y2

同步练习：

（1）x2?5xy?6y2 （2）x4?10x2y2?9y4

例4：分解因式：

（1）2x?7x?3 （2）4x4y2?5x2y2?9y2

分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可分的情况，同时注意符号的合理匹配。

同步练习：

（ 1）3x?x?2 （2）4x4?17x2y2?4y4

2．提取公因式法与分组分解法 例5 分解因式：

（1）x?9?3x?3x； （2）2x2?xy?y2?4x?5y?6． 解：

42244例6 分解因式：x?4 同步练习: a?ab?b

2

322422

2

3．关于x的二次三项式ax+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式

2ax2?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).

例7 把下列关于x的二次多项式分解因式：

（1）x?2x?1； （2）x2?4xy?4y2． 练习

1．分解因式：

2

（1）x＋6x＋8=________________

33

（2）8a－b=________________

2

（3）x－2x－1=________________ （4）4(x?y?1)?y(y?2x)=________________ （5）12x?xy?6y=________________

（6）6?2p?q??11?q?2p??3=_______________

22222、x2?4x? ??x?3??x? ?

3、若x2?ax?b??x?2??x?4?则a? ，b? 。 四、因式分解方法的系统归类

综上所述，整个高中阶段的分解因式需要我们掌握的方法可归类为：

?提取公因式法??运用公式法?十字相乘法????间接提取公因式法? 分解因式的方法???直接分组法间接运用公式法????间接十字相乘法?分组分解法???????间接分组分解法?填项或拆项分组法????化简分组法???注意：

1．因式分解的方法多样性是由多项式结构的多样性引起的，即针对不同结构的多项式，采用不同的方法分解因式，所以如何选择恰当的方法关键是观察多项式的结构特征。观察的的顺序为：看是否有公因式?看是否公式结构?看是否二次三项式?看是否可分组，以上都行不同就可考虑利用间接分组分解法。

2．以上所提到的方法之间也是相互联系的，比如：公式法能分解的大都可用十字相乘法，十字相乘法能分解的可用分组拆项的方法转化为可提取公因式的结构等等。

3．除此以外，还有针对一些二次三项式，也可以运用求根法分解因式。即初三学习一元二次方程时，得到的一个公式：ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，其中x1,x2是相应的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)两个实根。

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2习题

1．分解因式：

（1） a3?1=________________ （2）4x4?13x2?9=________________

（3）b2?c2?2ab?2ac?2bc=________________ （4）3x2?5xy?2y2?x?9y?4=________________ 2．在实数范围内因式分解：

（1）x2?5x?3 =________________ （2）x2?22x?3=________________

（3）3x2?4xy?y2=________________ （4）(x2?2x)2?7(x2?2x)?12=________________

（5）ab?bc2?ad?c2d （6）x2?y2?2yz?z2

(7) x2?4xy?4y2?3x?6y?2 （8）x2?xy?6y2?3x?y?2

3．?ABC三边a，b，c满足a2?b2?c2?ab?bc?ca，试判定?ABC的形状．

4．分解因式：x2＋x－(a2

－a)．

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