第1章 导数及其应用
1 变化率与导数
1.变化率
Δyf函数的平均变化率为＝Δxx2－fx1
，它是用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化快
x2－x1
慢的量.式中Δx，Δy的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，Δy的值为0，但Δx不能为0.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.
例1 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t0]内的平均速度哪个大？
解 比较在相同的时间段[0，t0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果. 在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)， 所以
s1t0－s1
t0
<
s2t0－s2
t0
. 所以在时间段[0，t0]内乙的平均速度比甲的大.
点评 比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小.
2.导数的概念及其几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，即当Δx趋于0时，Δyfx0＋Δx－f函数值y关于x的平均变化率＝ΔxΔxx0
的极限值；Δx无限趋近于0，是
指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零.
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量.
例2 如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________；
lim Δx→0
f＋Δx－fΔx＝________.(用数字作答)
解析 由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2). 同理线段BC的方程为f(x)＝x－2(2
??－2x＋4，0≤x≤2，
所以f(x)＝?
??x－2，2
所以f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2， lim Δx→0
f＋Δx－fΔx＝f′(1)＝－2.
答案 2 －2
例3 函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.0
解析 根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2))及A(3，f(3))处的切线的斜率.
由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0
由图，可知0
点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查.
通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫.
2 函数单调性的多方妙用
1.根据函数的单调性求解参数问题
f－f3－2
＝f(3)－f(2)，其几何意义为割线AB的
2
例1 已知f(x)＝ax＋bx＋cx在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上
32
?1?3
是减函数，且f′??＝，求a，b，c的值.
?2?2
解 f′(x)＝3ax＋2bx＋c.
由于f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f′(0)＝f′(1)＝0.
2
c＝0，??3a＋2b＋c＝0，1?3?又f′??＝，所以??2?233a＋b＋c＝.??42
a＝－2，??
解得?b＝3，
??c＝0.
点评 由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点，通常情况下单调区间的端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答.
例2 已知函数f(x)＝x＋(x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围.
2
axa2x3－a解 f′(x)＝2x－2＝2.
xx要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，且在[2，＋∞)上任何子区间上不恒为零， 2x－a即2≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立.
3
x∵x>0，∴2x－a≥0，
∴a≤2x在x∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a≤(2x)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x是单调递增的， ∴(2x)min＝16，∴a≤16.
2x－16
当a≤16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是2
3
3
3
33
23
xa≤16.
点评 已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数f(x)在区间I上单调递增
(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f′(x)＝0是否有有限个解.
3
2.利用函数的单调性证明不等式
欲证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x))成立，可以构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，利用导数进行证明.
例3 已知x>0，求证：e>1＋x.
证明 设函数f(x)＝e－(1＋x)，则f′(x)＝e－1. 当x>0时，e>e＝1，所以f′(x)＝e－1>0. 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 所以当x>0时，f(x)>f(0).
又f(0)＝e－(1＋0)＝0，所以f(x)>0，即e－(1＋x)>0. 故e>1＋x.
点评 若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明.
3.利用函数的单调性判断方程根的个数
若f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]上有唯一实数根；若f(a)f(b)与零的大小无法确定，则f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实数根.
1?1?例4 试判断函数f(x)＝x－ln x(x>0)在区间?，1?和区间(1，e)内有无零点.
3?e?
分析 可通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数. 11
解 因为f′(x)＝－.
3x所以当x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)是增函数； 当x∈(0,3)时，y＝f(x)是减函数.
11e?1?1?1?而0<<1
3 揭开导数问题易错点的面纱
一、揭开导数运算中的常见错因 1.对f′(x0)与f′(x)理解有误
例1 已知函数f(x)＝x＋2xf′(1)，则f′(0)的值为( ) A.0 C.－2
2
2
0
xxxx0xxxB.－4 D.2
错解 由f(x)＝x＋2xf′(1)得f(0)＝0.
4
相关推荐：
追梦