第五年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试（竞赛） 

第五年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一

试（竞赛）

1.某班买来单价为0.5元的练习本假设干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本，如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本，那么将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?

2.自然数的平方按大小排成14916253649 ……问:第612个位置的数字是几?

3.有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂。问：可以得到多少种颜色不同的圆棒？

5．弹子盘为长方形ABCD，四角有洞，子弹从A出发，路线与边成45°角，撞到边界即反弹，如右图所示，AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞问：AB=2019，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞？在落入洞之前，撞击BC边多少次？〔假定弹子永远按上述规律运动，直到落入一个洞为止〕。

6．在1，2，3，…，2019这2019个数中找出所有满足下面条件的数a来：〔2019+a〕能整除

。

1.3元钱 2.是0 3.135种 4.狗跑了23437.5米；兔跑了16537.5米；猫跑了8437.5米 5.经过撞击BC边997次后，弹子落入D洞 6.1254，210，1680，532，798，1330

1.【解】本数是15的倍数，也是10的倍数，因而是[15，10]＝30的倍数。

3030

将每30本作为一组，原来每组分给15 ＝2名女生，或10 ＝3名男生。现在应分给5(＝2＋3)名学生(其中女生2名，男生3名)，所以每人得：30＋5＝6(本)，每人应付0.5×6＝3(元)

2.【解】1一3的平方是一位数，占去3个位置； 4—9的平方是二位数，占去12个位置； 1O一31的平方是三位数，占去66个位置； 32—99的平方是四位数，占去272个位置；

3.【解】每段均有3种涂法，共有3×3×3×3×3＝243种涂法，其中颜色两头对称的〔如黄红蓝红黄〕的有3×3×3＝27种，而不对称的被重复计算了。所以可以得到〔243－27〕÷2＋27＝135〔种〕不同的圆棒。

5.【解】设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为(1994－k)格，距离A点为(k＋1)格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为(k＋1)格，

距离D点为[1994－(K＋1)]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[1994－(k＋1)]格，距离C点为2019－[1994－(K＋1)]＝K＋2格再撞击BC边的位置距离C点为k＋2格，即比前一次的位置下移2格。

答：经过撞击BC边997次后，弹子落入D洞。 6.【解】

是自然数，所以2019－

=

也是自然数,即2019十a是2019×2019的约数

因为2019×2019＝32×52×72×192，它在2019与2×2019之间(不包括2019)的约数有

32×192＝3249, 7×192＝2527, 3×72×19＝2793, 52×7×19＝3325, 32×5×72＝2205, 3×52×72＝3675 于是a的值有6个，即 3249－2019＝1254。 2527－2019＝532。 2793－2019＝798， 3325－2019＝1330, 2205－2019＝210, 3675－2019＝1680