绵阳市人教版 初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程（含答案） - 图文 

绵阳市初一数学上册 竞赛专题：方程的解与解方程（含答案）

[例1] 已知关于x的方程3[x－2(x－a)]＝4x和3x?a－1?5x＝1有相同的解，那

3128么这个解是______．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

[例2] 已知a是任意有理数，在下面各说法中

(1)方程ax＝0的解是x＝1 (2)方程ax＝a的解是x＝1 (3)方程ax＝1的解是x＝1 (4)方程|a|x＝a的解是x＝±1

a结论正确的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

(江苏省竞赛试题)

[例3] a为何值时，方程x＋a＝x－1(x－12)有无数多个解？无解？

326 [例4] 如果a，b为定值时，关于x的方程2kx?a＝2＋x?bk，无论k为何值时，它的

36根总是1，求a，b的值．

(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)

[例5] 已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，求代数式p2－q的值．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．

(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．

①图中框出的这16个数的和是______；

②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．

1 8 1223

2 9 1233

3 11233

4 11 1233

5 11234

6 12234

7 12234

日一二三四五六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 … …

… …

20 21 22 23 24 25 26 199199 19920020020027 28 29 30 200200

图② 图①

(湖北省黄冈市中考试题)

能力训练

A级

1．若关于x的方程(k－2)xk1＋5k＝0是一元一次方程，则k＝______；若关于x的方程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，则方程的解x＝______． 2．方程x－3[x－1(x－3)]＝3(x－3)的解是______．

447167|－|

(广西赛区选拔赛试题)

3．若有理数x，y满足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，则x2＋y3＝______．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．若关于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有无数个解，则a＝______，b＝______．

(“希望杯”邀请赛试题)

5．已知关于x的方程9x－3＝kx＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝______．

(“五羊杯”竞赛试题)

6．下列判断中正确的是( )．

A．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x同解

B．方程2x－3＝1与方程x(2x－3)＝x没有相同的解 C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解 D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解 7．方程x＋x＋…＋

1?22?3x＝1995的解是( )． 1995?1996A．1995 B．1996 C．1997 D．1998

8．若关于x的方程2x?b＝0的解是非负数，则b的取值范围是( )．

x?1A．b＞0 B．b≥0 C．b≠2 D．b≥0且b≠2

(黑龙江省竞赛试题)

9．关于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有无穷多个解，则( )． A．a＋b＝0 B．a－b＝0 C．ab＝0 D．a＝0

b10．已知关于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0无解，则ab是( )． A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数

(“希望杯”邀请赛试题)

11．若关于x的方程kx－12＝3x＋3k有整数解，且k为整数，求符合条件的k值．

(北京市“迎春杯”训练题)

|a|12．已知关于x的方程x＋a＝x－1(x－6)，当a取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无

326穷多解？

(重庆市竞赛试题)

B级

1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解为a＋2，则方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解为______． 2．已知关于x的方程a?x＝bx?3的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，则代数式b－a的

23ab值是______．

3．若k为整数，则使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整数的k值有______个．

(“希望杯”邀请赛试题)

4．如果1＋1＋1＋…＋

26121＝2003，那么n＝______．

n(n?1)2004(江苏省竞赛试题)

5．用※表示一种运算，它的含义是A※B＝3※4＝______．

x1＋，如果2※1＝5，那么(A?1)(B?1)A?B3(“希望杯”竞赛试题)

6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．

巧克力 果冻 50g砝码 第6题图

7．有四个关于x的方程 ①x－2＝－1 ③x＝0

(河北省中考试题)

②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1) ④x－2＋1＝－1＋1

x?1x?1其中同解的两个方程是( )．

A．①与② B．①与③ C．①与④ D．②与④

8．已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整数解，则a的值共有( )．

A．1个 B．3个 C．6个 D．9个

(“希望杯”邀请赛试题) 9．(1)当a取符合na＋3≠0的任意数时，式子ma?2的值都是一个定值，其中m－n＝6，

na?3求m，n的值．

(北京市“迎春杯”竞赛试题)

(2)已知无论x取什么值，式子ax?3必为同一定值，求a?b的值．

bx?5b(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)

10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k(k是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？

(上海市竞赛试题)

11．下图的数阵是由77个偶数排成：

2 1314

4 1314

6 2314

8 2314

12315

12415

12415

……………………………………

第11题图

用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．

(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？

(2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？

参考答案

27227?2a227?2a 两方程的解分别为x＝a和x＝，由题意知a＝，得2872172127222727a＝.从而可以得到x＝a＝×＝.

877828例1 提示：

例2 A提示：当a＝0时，各题结论都不正确. 例3 提示：原方程化为0x＝6a－12

（1）当6a－12＝0，即a＝2时，原方程有无数个解. （2）当6a－12≠0，即a≠2时，原方程无解． 例4 原方程整理可得：(4x＋b)k＝12＋x－a． ∵ 无论k为何值时，它的根总是1． ∴ x＝1且k的系数为0． ∴ 4＋b＝0，13－2a＝0．

∴ a?13，b?4． 2例5 提示：把x＝1代入方程px＋5q＝97，得p＋5q＝97， 故p与5q之中必有一个数是偶数

（1）若p＝2，则5q＝95，q＝19，p?q??15；

（2）若5q是偶数，则q＝2，p＝87，而87不是质数，与题设矛盾，舍去； 因此p?q??15．

例5 （1）a－7，a，a＋7； （2）①44×8＝352；

②设框出的16个数中最小的一 个数为a，则这16个数组成的正方形 方框如右图所示，因为框中每两个关 于正方形的中心对称的数之和都等于

2a＋24，所以这16个数之和为8×（2a＋24）＝16a＋192． 当16a＋192＝2000时，a＝113； 当16a＋192＝2004时，a＝113.25．

∵a为自然数，∴ a＝113.25不合题意，则框出的16个数之和不可能等于2004，由长方形阵列的排列可知，a只能在1，2，3，4列，则a被7整除的余数只能是1，2，3，4．因为113＝16×7＋1，所以，这16个数之和等于2000是可能的．这时，方框涨最小的数是113，最大的数是113＋24＝137．

A 级

a a＋7 a＋14 a＋21 a＋1 a＋8 a＋15 a＋22 a＋2 a＋9 a＋16 a＋23 a＋3 a＋10 a＋17 a＋24 2255 2．x＝0 3．8 4．6； 46175．10；26；8；－8 提示：x?，9?k能被17整除，则9?k??1，或9?k??17

9?k1．0；

11??111x1????L??6．D 7．B 提示：原方程化为???1995

19951996??2238．D 9．A 10．B 11．原方程的解为 x?3k?1221， ?3?k?3k?3 显然 k－3＝±1，±3，±7，±21，

即 k＝4，2，6，0，－4，10，24，－18．

12．提示：原方程化为

?1?a?x?2?1?a?

（1）当a＝－1时，方程无解； （2）当a＝1时，方程有无穷多解．

B 级

7b3 提示：当x＝2时，代入得?． 12a420013．16 提示：x?为整数，2001＝1×3×23×29，故k可取±1，±3，±23，±29， ±3×23，

k?11．10.5 2．?±3×29，±23×29，±22001共16个值． 4．2003 提示：

111111111???L??????L? 2612n?n?1?1?22?33?44?5n?n?1? ＝1?11111111200311，得． ?????L???1???22334nn?1n?12004n?120041x5192※1???5． 提示：，解得 x＝8．

2?1?2?1??1?1?3356．20 7．A 8．C

ma?22m?22??；取a＝1，则??，

na?33n?331218 得 3?m?2??2?n?3??0，又m?n?6，解得m?，n??．

55ma?33m?33 （2）令x＝0，则?；令x＝1，则?，

na?55n?55a3a?ba38 得5?a?3??3?b?5?，即?，故??1??1?．

b5bb5574?16k10．设乙队原有x人，则80＝k(x＋16)＋6，解得x?．

k74∵x必须为正整数且k≠1，∴ x??16?N＋，k74，得出k＝2或37，

k9．（1）取a＝0，则只有当k＝2时，x＝21人．

11．（1）能，这四个数分别是100，102，116，118． （2）不能．