2010年数联天地大学生数学竞赛试题
一、填空题（每题5分，共30分）
e11、极限lim{x?x（[1?）?e]}?
2xx???2x
?2、求（?1）?n?1n?1?（2n?1）（2n）（2n?1）（2n?2）（2n?3）1
3、?[x132x?1222x?1?ln(x2x)]dx?
4、设微分方程22y\'?p(x)y\?q(x)y'?r(x)y?0有解y（x），y（x），y（x）。1232使y（?y（?y（?1对所有实数1x）2x）3x）22x成立，设f（x）?[y'1(x)]?y'?Ap(x)y?Br(x)的解，求2[y'2(x)]?[y'3(x)],使得f（x）是微分方程常数A?，B?
5、广义积分???（0x?a??x?x?x?bdx收敛，那么正实数
a、b满足的条件是
（x?y）ln（1?6、计算重积分34L???D1?x?y）xdxdy，其中D：0?y?x，y?x?y?1，求L?
二、解答题，（考生将详细过程写出。每题10分，共70分）
1、证明：可作[a，b]稠密。[a，b]上的可微函数f（x），使得f'(x)?0的点在
2、求极限
lim[nn?3nn?nn??n2?1ln（n?1n）?nn2?4ln（n?2n）?n2?9ln（nn）????n2?n2ln（n）]
3、计算曲线积分22I?C?xe2y2?y（[xsinx?ycosx）dx?（ysinx?xcosx）dy]，行。
其中C：x?y?1，积分沿逆时针方向进 4、证明：对所有的实数
x，有|e（x12?6x?x2）?（12?6x?x2）|?15|x|60|x|e
5、设正数列{an}满足lim[a（ann??21?a22?a23???an）]?1，证明级数2?（a）发散?nn?13
6、已知当x?0时，有（1?x）f'(x)?(1?x)f(x)?1,g'(x)?f(x)f(0)?g(0)?0,证明:14?2??n?11g()?1.n
7、设（fx）在[0，??）二阶可导，且（f0）?1，f'(0)?1,f\x)?f(x),(x?0).求证:f(x)?ex
三、（20分）设f（x）在闭区间[a，b]上二阶可导，（不恒为一个常数），(此题为思考题，答对者f'(a?b2)?0,且f（x）?0证明存在??（a，b）使得|f\(?)|?另加20分，答错者不加分，）4|f(b)?f(a)|(b?a)2
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