课时跟踪检测（十九） 立体几何
1.(2018届高三·广西五校联考)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC.
∵AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥AE.
∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.
―→―→
(2)以O为坐标原点，OA，OB的方向为x轴，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，设CF＝a，则B(0，3，―→
0)，D(0，－3，0)，E(1,0,2)，F(－1，0，a)(a＞0)，OF＝(－1,0，a)．
设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)， ―→??3y＝0，?n·OB＝0，则?即?
―→?x＋2z＝0，??n·OE＝0，
令z＝1，则n＝(－2,0,1)，
|OF·n||2＋a|21―→
由题意得sin 45°＝|cos〈OF，n〉|＝＝2＝，解得a＝3或a＝－.
―→3a＋1·52|OF||n|由a＞0，得a＝3，
―→―→
OF＝(－1,0,3)，BE＝(1，－3，2)， －1＋65―→―→
∴cos〈OF，BE〉＝＝，
10×845
故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.
4
2.(2017·合肥模拟)如图所示，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥底
面
ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.
(1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B； (2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接AC， ∵四边形ABCD为菱形， ∠BAD＝120°，
∴△ACD为等边三角形， 又M为CD中点，
∴AM⊥CD，由CD∥AB得， AM⊥AB.
∵AA1⊥底面ABCD，AM?平面ABCD，∴AM⊥AA1. 又AB∩AA1＝A， ∴AM⊥平面AA1B1B.
(2)∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2， ∴DM＝1，AM＝3， ∴∠AMD＝∠BAM＝90°， 又AA1⊥底面ABCD，
∴以A为坐标原点，AB，AM，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
?13?
则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，3，0)，D1?－，，2?，
?22?
3?―→―→?1―→
∴DD1＝?，－，2?，BD＝(－3，3，0)，A1B＝(2,0，－2)．
2?2?设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， ―→??－3x＋3y＝0，?n·BD＝0，
则?即?
―→?2x－2z＝0，??n·A1B＝0，
令x＝1，则n＝(1，3，1)，
―→
|n·DD1|11―→
∴|cos〈n，DD1〉|＝＝＝. ―→5×55|n|·|DD1|
1
∴直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值为.
5
3.(2018届高三·洛阳四校调研)如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，二面角F-AB-D是直二面角，BE∥AF，BC∥AD，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1.
(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行； (2)求二面角F-CD-A的余弦值．
解：(1)证明：由已知得，BE∥AF，BE?平面AFD，AF?平面AFD， ∴BE∥平面AFD.
同理可得，BC∥平面AFD.
又BE∩BC＝B，∴平面BCE∥平面AFD. 设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过点C.
∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，平面DFC∩平面AFD＝DF， ∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.
(2)∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，FA?平面ABEF， 又∠FAB＝90°，∴AF⊥AB，∴AF⊥平面ABCD. ∵AD?平面ABCD，∴AF⊥AD. ∵∠DAB＝90°，∴AD⊥AB.
以A为坐标原点，AD，AB，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标―→―→
系，由已知得，D(1,0,0)，C(2，2,0)，F(0,0,2)，∴DF＝(－1,0,2)，DC＝(1,2,0)．
设平面DFC的法向量为n＝(x，y，z)， ―→??n·DF＝0，?－x＋2z＝0，?则即? ―→x＋2y＝0，???n·DC＝0，
令z＝1，则n＝(2，－1,1)，
不妨取平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)， m·n16∴cos〈m，n〉＝＝＝，
|m||n|66由于二面角F-CD-A为锐角， 因此二面角F-CD-A的余弦值为
6
. 6
三角形
4．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边
1
且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
2
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值． 解：(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF. 因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝1
2AD.
由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD， 又BC＝1
2
AD，所以EF綊BC，
所以四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF， 又CE?平面PAB，BF?平面PAB， 故CE∥平面PAB.
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，―AB→
的方向为x轴正向，|―AB→
|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，P(0，1，3)，―PC→
＝(1,0，－3)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0 则―BM→＝(x－1，y，z)，―PM→ ＝(x，y－1，z－3)． 因为BM与底面ABCD所成的角为45°， 而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量， 所以|cos〈―BM→ ，n〉|＝sin 45°，|z| x－12＋y2＋z 2 ＝22， 即(x－1)2 ＋y2 －z2 ＝0. ① 又M在棱PC上，设―PM→＝λ―PC→ ， 则x＝λ，y＝1，z＝3－3λ. ② 方 ―AB →
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