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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 共140分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 集合P?{x?Z0?x?3},M?{x?Zx2?9}，则PIM= (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x≤3} （2）在等比数列?an?中，a1?1，公比q?1.若am?a1a2a3a4a5，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12
（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为
（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
82828282（A）A8A9 （B）A8C9 （C） A8A7 （D）A8C7
（5）极坐标方程（p-1）（???）=（p?0）表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线
（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 （6）a、b为非零向量。“a?b”是“函数f(x)?(xa?b)?(xb?a)为一次函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
?x?y?11?0?（7）设不等式组 ?3x?y?3?0 表示的平面区域为D，若指数函数y=ax的图像上
?5x?3y?9?0?
存在区域D上的点，则a 的取值范围是
（A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ??] (8)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，
ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
第II卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在复平面内，复数
2i1?i对应的点的坐标为 。
2?3（10）在△ABC中，若b = 1，c =3，?C?，则a = 。
（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。
（12）如图，?O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD?AE，
AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。
（13）已知双曲线
xa22?yb22焦点与椭圆?1的离心率为2，
?225??29?1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 （14）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。 设顶点p（x，y）的轨迹方程是y?f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；y?f(x)在其两个相邻零点间的图像与x轴 所围区域的面积为 。
说明：“正方形PABC沿?轴滚动”包括沿?轴正方向和沿?轴负方向滚动。沿?轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在?轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿?轴负方向滚动。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数f(x)?2cos2x?sinx?4cosx。 （Ⅰ）求f?(?3)的值；
2（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值。 （16）（本小题共14分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。
(17)(本小题共13分)
某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
45，第二、
第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ p 0 61251 a 2 d 3 24125 (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求p，q的值； (Ⅲ)求数学期望Eξ。 (18)(本小题共13分)
已知函数f(x)=In(1+x)-x+
x2x(k≥0)。
2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间。 （19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于?13.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。 （20）（本小题共13分） 已
知
集
合
Sn?{XX|?x1x(…，,xn,x?21)i?,…n{n0?,1对}于,1,2,
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