16k2?16k?4因为点A?2,1?在椭圆C上, 所以x?2是方程①的一个根, 则2xP?,
1?4k2 ……………………………………………6分
8k2?8k?2所以xP?. ……………………………………………7分 21?4k8k2?8k?2同理xQ?. ……………………………………………8分
1?4k216k. ……………………………………………9分
1?4k28k又yP?yQ?k?xP?xQ?4???. ……………………………………………10分
1?4k2所以xP?xQ??所以直线PQ的斜率为kPQ?yP?yQxP?xQ?1. …………………………………………11分 2所以直线PQ的斜率为定值，该值为法2：设点P?x1,y1?,Q?x2,y2?， 则直线PA的斜率kPA?1. ……………………………………………12分 2y1?1y?1, 直线QA的斜率kQA?2. x1?2x2?2 因为?PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线x?2对称. 所以kPA??kQA, 即
y1?1y2?1??0, ① ………………………………………5分 x1?2x2?2 因为点P?x1,y1?,Q?x2,y2?在椭圆C上,
x12y12??1，② 所以8222x2y2??1. ③ 8222 由②得x1?4?4y1?1?0, 得
????y1?1x?2??1, ④ ………………………6分 x1?24?y1?1? 同理由③得
y2?1x?2??2, ⑤ ………………………………………………7分 x2?24?y2?1?x1?2x?2?2?0,
4?y1?1?4?y2?1?9
由①④⑤得
化简得x1y2?x2y1??x1?x2??2?y1?y2??4?0, ⑥ ……………………………8分 由①得x1y2?x2y1??x1?x2??2?y1?y2??4?0, ⑦ ……………………………9分 ⑥?⑦得x1?x2??2?y1?y2?. …………………………………………10分
22x12?x2y12?y2y?yx?x1??0,得12??12?. …………………11分 ②?③得
82x1?x24?y1?y2?2所以直线PQ的斜率为kPQ?y1?y21?为定值. …………………………………12分
x1?x22法3：设直线PQ的方程为y?kx?b，点P?x1,y1?,Q?x2,y2?， 则y1?kx1?b,y2?kx2?b, 直线PA的斜率kPA?y1?1y?1, 直线QA的斜率kQA?2. ………………………5分 x1?2x2?2 因为?PAQ的角平分线总垂直于x轴, 所以PA与AQ所在直线关于直线x?2对称. 所以kPA??kQA, 即
y1?1y?1, ……………………………………………6分 ??2x1?2x2?2 化简得x1y2?x2y1??x1?x2??2?y1?y2??4?0. 把y1?kx1?b,y2?kx2?b代入上式, 并化简得 2kx?1?2??k1x2??b1. 0 (*) …………………………………7分 x??2x?4b?4??y?kx?b,?222 由?x2y2消去y得?4k?1?x?8kbx?4b?8?0, (**)
?1,??2?88kb4b2?8,x1x2?2 则x1?x2??2, ……………………………………………8分
4k?14k?12k?4b2?8?8kb?b?1?2k?代入(*)得??4b?4?0, ……………………………9分 224k?14k?1整理得?2k?1??b?2k?1??0,
1或b?1?2k. ……………………………………………10分 2若b?1?2k, 可得方程(**)的一个根为2，不合题意. ………………………………11分
所以k?10
若k?1时, 合题意. 21. ……………………………………………12分 2所以直线PQ的斜率为定值，该值为 (21) 解:
(Ⅰ)法1: 函数f?x??lnx?a的定义域为?0,???. xa1ax?a由f?x??lnx?, 得f??x???2?2. ……………………………………1分
xxxx 因为a?0,则x??0,a?时,f??x??0;x??a,???时,f??x??0.
所以函数f?x?在?0,a?上单调递减, 在?a,???上单调递增. ………………………2分 当x?a时,??f?x???min?lna?1. …………………………………………………3分
当lna?1?0, 即0?a?1时, 又f?1??ln1?a?a?0, 则函数f?x?有零点. …4分 e所以实数a的取值范围为?0,法2：函数f?x??lnx?由f?x??lnx??1?. ……………………………………………………5分 ?e??a的定义域为?0,???. xa…………………………………………………1分 ?0, 得a??xlnx.
x令g?x???xlnx，则g??x????lnx?1?.
当x??0,?时, g??x??0; 当x??,???时, g??x??0.
??1?e??1?e??所以函数g?x?在?0,?上单调递增, 在?,???上单调递减. ……………………2分
??1?e??1?e??故x?1111?1?时, 函数g?x?取得最大值g????ln?. …………………………3分 eeee?e?1a有零点, 则0?a?. ………………………………………4分
ex?1?. …………………………………………………5分
?e??因而函数f?x??lnx?所以实数a的取值范围为?0, (Ⅱ) 要证明当a?2时, f?x??e?x, e2a 即证明当x?0,a?时, lnx??e?x, 即xlnx?a?xe?x.………………………6分
ex11
令h?x??xlnx?a, 则h??x??lnx?1. 当0?x?11时,f??x??0;当x?时,f??x??0. e e
所以函数h?x?在?0,?上单调递减, 在?,???上单调递增.
??1?e??1?e??11时, ?hx???a. ……………………………………………………7分 ?????minee211 于是,当a?时, h?x????a?.① ……………………………………8分
eee
当x? 令??x??xe?x, 则???x??e?x?xe?x?e?x?1?x?. 当0?x?1时,f??x??0;当x?1时,f??x??0.
所以函数??x?在?0,1?上单调递增, 在?1,???上单调递减.
1. ……………………………………………………9分 e1 于是, 当x?0时, ??x??.② ……………………………………………………10分
e
当x?1时, ????x???max? 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当a?（22）解： (Ⅰ) 由?2时, f?x??e?x. ……………………………………………………12分 e?x?3?t,消去t得x?y?4?0, ………………………………………1分
?y?1?t,
所以直线l的普通方程为x?y?4?0. ………………………………………2分 由??22cos????????????22cos?cos?sin?sin????2cos??2sin?, ……3分
444???
得?2?2?cos??2?sin?. ………………………………………4分 将?2?x2?y2,?cos??x,?sin??y代入上式,
得曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y, 即?x?1???y?1??2. ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为P1?2cos?,1?2sin?, ………………………………6分
22??则点P到直线l的距离为d?1?2cos??1?2sin??42…………………………7分
12
?2?sin??cos???22 ???2sin?????24???.………………………………………8分
2
当sin???
???????1时, dmax?22, ………………………………………9分 4? 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22.………………………………10分 法2: 设与直线l平行的直线为l?:x?y?b?0, ………………………………………6分
当直线l?与圆C相切时, 得 解得b?0或b??4(舍去),
1?1?b2?2, ………………………………………7分
所以直线l?的方程为x?y?0. ………………………………………8分 所以直线l与直线l?的距离为d?0?42?22. …………………………………9分
所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为22. ………………………………10分 （23）解：
(Ⅰ) 因为f?1??3，所以a?1?2a?3. ………………………………………1分
22，所以??a?0; ……………2分 3311 ② 当0?a?时，得a??1?2a??3，解得a??2，所以0?a?; ……………3分
221414③ 当a?时，得a??1?2a??3，解得a?，所以?a?; ……………4分
2323 ① 当a?0时，得?a??1?2a??3，解得a??综上所述，实数a的取值范围是??,?. ………………………………………5分 (Ⅱ) 因为a?1,x?R ,
所以f?x??x?a?1?x?2a??x?a?1???x?2a?……………………………7分
?24??33??3a?1 ……………………………………………………………………8分
?3a?1 ……………………………………………………………………9分
?2. ……………………………………………………………………10分
13
相关推荐：
loading