(2) 连结AC，BD交于O，连结OE，OF. 因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点． 因为E为PC中点，所以OE∥PA.
因为OE?平面PAD，PA?平面PAD，所以OE∥平面PAD，(8分) 同理OF∥平面PAD.(10分)
因为OE∩OF＝O，所以平面OEF∥平面PAD.(12分) 因为EF?平面OEF，所以EF∥平面PAD.(14分) 题型三 直线、平面的平行于垂直的综合问题
知识点拨：解决此类问题首先要熟练掌握直线、平面的平行与垂直性质定理和判定定理，也要熟悉一些探索性问题的解决途径（假设存在，进行探究），有些题目要正确做出辅助线。
例3、(2019宿迁期末）在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形． (1) 求证：平面SAC⊥平面SBD；
1
(2) 若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且AN＝NS，求证：SC∥平面BMN.
2
规范解答 (1)因为SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以SA⊥BD.(2分)
又因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD. 又SA，AC?平面SAC，且SA∩AC＝A， 所以BD⊥平面SAC.(5分)
由BD?平面SBD，得平面SAC⊥平面SBD.(7分)
(2)设AC与BM的交点为E，连结NE. 由底面ABCD是菱形，得AD∥BC.
AEAMAM1所以＝＝＝.(9分)
ECBCAD2
1AEAN1
又因为AN＝NS，所以＝＝，所以NE∥SC.(11分)
2ECNS2因为NE?平面BMN，SC?平面BMN，所以SC∥平面BMN.(14分)
易错警示 在使用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理等定理时，一定要将定理的条件写全，否则犯了“推不出”的错误，导致扣分．
【变式1】(2018苏州暑假测试）如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC. (1) 若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA；
(2) 若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.
．
规范解答 (1) 因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AB?平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC.(2分)
因为CP?平面PBC，所以CP⊥AB.(4分)
又因为CP⊥PB，且PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以CP⊥平面PAB.(6分) 又因为PA?平面PAB，所以CP⊥PA.(8分)
(2) 如图，在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D.
因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD?平面PBC，所以PD⊥平面ABC.(11分) 又l⊥平面ABC，所以l∥PD.
又l?平面PBC，PD?平面PBC，所以l∥平面PBC.(14分)
解后反思 一般地，已知面面垂直，需要将面面垂直转化为线面垂直，找出两平面的交线后，寻找平面中是否有直线垂直于另外一个平面，若没有，则在某平面内构造一条线垂直于交线即可．
【变式2】(2018常州期末）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．
(1) 求证：BD⊥AC；
(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.
规范解答 (1) 因为PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PC.记AC，BD交于点O，连结OP.因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点．又△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.(4分) 又PC∩OP＝P，PC，OP?平面PAC.所以BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，所以BD⊥AC.(7分) (第(1)问也可按如下方式证明：可由PC⊥平面ABCD，得PC⊥CD，PC⊥CB，则由PD＝PC2＋CD2，PB＝PC2＋CB2，得CD＝CB，故?ABCD为菱形，从而AC⊥BD.)
(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.又AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.(10分)
又AD?平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，所以AD∥QF，所以QF∥BC.(14分) 【变式3】(2018扬州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点． (1) 求证：B1C1∥平面A1DE；
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.
规范解答 (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形B1BCC1是平行四边形，所以B1C1∥BC.(2分) 在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，故BC∥DE，所以B1C1∥DE.(4分)
又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE， 所以B1C1∥平面A1DE.(7分)
(2) 如图，在平面ABB1A1内，过A作AF⊥A1D于F.
因为平面A1DE⊥平面A1ABB1，平面A1DE∩平面A1ABB1＝A1D，AF?平面A1ABB1，所以AF⊥平面A1DE.(11分)
又DE?平面A1DE，所以AF⊥DE.
在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，DE?平面ABC，所以A1A⊥DE. 因为AF∩A1A＝A，AF?平面A1ABB1，A1A?平面A1ABB1，所以DE⊥平面A1ABB1. 因为AB?平面A1ABB1，所以DE⊥AB.(14分)
(注：作AF⊥A1D时要交代在平面内作或要交代垂足，否则扣1分．)
【变式4】(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F． （1）求证：AB∥EF；
（2）若平面PAD?平面ABCD，求证：AF?EF．
规范解答 （1）因为ABCD是矩形，所以AB∥CD 又因为AB?平面PDC，CD?平面PDC， 所以AB∥平面PDC．
又因为AB?平面ABEF，平面ABEFI平面PDC?EF， 所以AB∥EF．
（2）因为ABCD是矩形，所以AB?AD．
又因为平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，
AB?平面ABCD，所以AB?平面PAD．
又AF?平面PAD，所以AB?AF． 又由（1）知AB∥EF，所以AF?EF．
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