Chapter 4 Constitutive Equations 本构方程 4-1. Introduction 引言
应力分析：从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。 应变分析：从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。 本构关系：研究应力与应变之间存在的内在联系。 4-2. Experiments 拉伸和压缩时的应变应变曲线 1、低碳钢拉伸试验曲线： 线弹性阶段：OA 弹性阶段：AB
B点应力：弹性极限 屈服阶段：CD
C点应力：上屈服极限 D点应力：下屈服极限 塑性流动阶段：DH
强化阶段：H点以后 缩径阶段：b点以后 2.无明显屈服阶段材料 应力—应变曲线:
屈服极限规定用产生0.2％塑性
应变所对应的应力来表示。记为ζ0.2
3.包辛格(J.Bauschinger)效应(反向屈服效应): 具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。 通常 且
若 称为理想包辛格效应。
4.真实应力—应变曲线讨论：
ζ=P/A0 A0：试件初始截面积，ζ为名义应力 ζT=P/A A：试件变形后截面积 ζT为真实应力 σT>σ
利用体积不可压缩假设： 则
作图： 故有
***对简单拉伸，考虑泊松效应 若纵向应变 ，则侧向应变为：
截面积 体积 体积变化
4-3.变形能函数
物体受力变形的过程，其本质上是一个热力学过程。
(1)等温过程： 物体在变形过程中，各点的温度与周围介质的 温度保持平衡。
(2)绝热过程： 物体在变形过程中不产生温度的变换。即：物 体温度没有升降，热量无损失或增加。 由热力学第一定律，物体在变形过程中总能量的变化： δK +δU =δA +δQ
其中： δK 为动能的变化， K 为物体的动能
δU 为变形能的变化，U 为物体的变形能
δA 为外力功的变化，A 为变形过程中外力做的功
δQ 为热量的变化，Q 为物体变形吸收(或散发)的热量 设物体的体积为V，变形位移ui，受外力Fi作用 则物体的动能变化
式中 为速度分量， 为加速度分量 注意到 故有
外力功的变化：
式中Fi为体力，Ti为面力，S为物体的表面积 利用应力边界条件
和高斯积分公式 的展开式：
则面力功的变化： 注1：
则面力功的变化： **注2：取 便有 即有
则面力功的变化： ***注3：考察
故有
其中， 为应变分量，表示物体的纯变形部分，
为物体的刚性位移部分，称为转动张量 应力在刚体位移上不做功。 为一二阶对称张量 为一二阶反对称张量
则面力功的变化： 从而有
物体变形能的变化 注意到
又注意到物体运动微分方程为：
平衡状态下，有平衡微分方程： 从而有
若变形过程是绝热的，即 则有 在平衡状态下，
结论：在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能的变化。 或者说，外力所做的功，全部转化为物体的应变能。 记变形能的变化 则
为单位体积应变能的变化。 记U0为应变分量的函数，即： 显然有 其全微分为
U0表示由于变形而贮存在物体单位体积内的应变能，称为应变能 密度函数。
定义：应变能的变化 应变余能的变化 *** 有
则对于应变能密度函数 U0， 展开式为：
类似地，对于应变余能密度函数U0* ， 展开式为： 有
4-4.广义Hooke定律
在小变形情况下，忽略应变分量的高阶值，同时利用零初应力状态假定，得到最一般形式下线弹性应力—应变关系的表达式： 1、应力—应变关系的一般表示: 展开式：
简记为： 或 写成矩阵形式： 简记为：
一般情况下，系数Cij不是常数，除依赖温度外，还依赖于在物体中所处的位置。通常Cij随着温度的增高而减小。对于均匀的物体，各点的Cij相同。 注意到： 则有：
即[C]为对称矩阵，只有21个独立的弹性系数。 即：一般的各向异性弹性材料有21个弹性系数。 2、各向异性体弹性材料的应力—应变关系： 根据前面的讨论，应变能密度函数U0 满足： 考察：
类似地可得到
3、各向同性体材料的广义Hooke定律
各向同性体材料的应力主轴和应变主轴重合。 证明：1°以三个应变主轴方向为轴建立坐标系。
则对应于三个主轴方向的切应变为零： 于是对应于主应变状态的各应力分量为: 1′ 3′ 2′ o
2°建立新坐标系。不妨把坐标系1、2、3 绕 2 轴旋转180 °得到 坐标系1′、2 ′、3 ′。 坐标系间的方向余弦关系为：
在新坐标系1′、2 ′、3 ′下，对于各向同性体，弹性常数不随 方向而改变，则对应于新坐标系下的各应力分量同样有： 应变状态的坐标变换 显然有：
考察应力状态的坐标变换
同时 对 的影响和 对 的影响应该没有区别： 对于各向同性体材料，在各个方向上的弹性性质相同，显然主应变 对 的影响与主应变 对 的影响和主应变 对 的影响都是相同的，即有 即有： 同理有
于是知：应变主轴坐标系所对应的应力状态是主应力状态，即 应变主轴也是应力主轴，或者说：应变主轴和应力主轴重合。 从而有：
〈ii〉各向同性体材料只存在两个独立的弹性常数 已知在主轴坐标系下， 类似地 不妨记 则有
引入 Lame 常数 体积应变 则有
引入非主轴坐标系 Oxyz，与主轴坐标系 间的方向余弦关系记为：
在 Oxyz 系下的应力和应变状态分别为 不妨考察 以及
利用主轴坐标系下的结论 有
于是得到各向同性体材料的应力—应变关系即广义 Hooke定律为 简记为
根据由拉梅系数表示的广义虎克定律：
可以解出应变以应力分量表示的形式，即得到以工程弹性常数 表示的广义Hooke定律为： <1> 工程弹性常数：E，G， E：（拉压）弹性模量，杨氏（Young’s）模量
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