07年2+2高等数学B试卷+答案

y30 X?y = ?60y, ?60y, X?y 60y80x?20y L??EL??dx??dx?2020?60X?20(y?X), X?y?80X?20y, X?yy10??2y2?100y?200

dEL ??4y?100?0dyy?25 9分

五．证明题： （本题共2个小题，第一小题6分，第二小题5分，共11分）

1．设函数 f(x) 是 [0,1] 上连续函数, ?f(x)dx?0；试证：必至少存在一点 ??(0,1) ，使得 f(?)?01111f(t)dt . ??证明 ： g(x)?e?f(t)dt,?xxx?[0,1] ； 则 g(1)?0 g(0)?e?f(t)dt?0

?0011 由微分中值定理 ???(0,1):g'(?)?0

11g'(x)?ex??f(t)dt?ex(?f(x))?ex[?f(t)dt?f(x)]xx

?0?g'(?)?e[?f(t)dt?f(?)]???f(?)??f(t)dt …… 6 分

?2. 设 A 是 n ( n ? 2 ) 阶方阵且 A 的元素全都是 1 , E 是 n 阶单位阵, 证明：

(E?A)?1?E?1A . n?1证：令 ??(1,1,?,1) ， ? ?A??T?

A2??T??T??n?T??nA …… 2分

(E?A)(E?111A)?E?A?A?A2?E n?1n?1n?11?(E?A)?1?E?A …… 5分

n?1

6