高考数学大一轮复习第五章数列第三节等比数列教师用书理5

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第三节 等比数列

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 真题举例 2016，全国卷Ⅲ，17,12分(等比数列的证明、通项公式) 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式； 3.了解等比数列与指数函数的关系。 2016，全国卷Ⅰ，15,5分(等比数列有关最值问题) 2015，全国卷Ⅱ，4,5分(等比数列的计算) 2015，全国卷Ⅱ，17,12分(等比数列的判定、基本运算与性质) 微知识 小题练 自|主|排|查 1．等比数列的有关概念 (1)定义：

①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 ②符号语言：主要以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质。解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查。 命题角度 an＋1＝q(n∈N*，q为非零常数)。 an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。即：G是a与

b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab。

2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1。

?na，q＝1，

(2)前n项和公式：S＝?a1－qa－aq＝，1－q?1－q1

n1

n1n q≠1。

3．等比数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)。

(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq。 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a2p。

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(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)。

(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列。

(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk。

微点提醒

1．等比数列的概念的理解

(1)等比数列中各项及公比都不能为零。

(2)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0。 (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。 2．等比数列{an}的单调性

?a1>0，?a1<0，

(1)满足?或?时，{an}是递增数列。

q>100，?a1<0，

(2)满足?或?时，{an}是递减数列。

01???a1≠0，

(3)当?时，{an}为常数列。

?q＝1

(4)当q<0时，{an}为摆动数列。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(必修5P68B组T1(1)改编)等比数列{an}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2

＋…＋log3a10＝( )

A．12 C．8

B．10 D．2＋log35

【解析】 ∵a4a7＝a5a6，∴a5a6＝9，又log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5

＝log395＝10。故选B。

【答案】 B

S61S9

2．(必修5P62B组T2改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________。

S32S3

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S611

【解析】 S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，由＝知S6＝S3，

S322

123S93

则S3＝S3·(S9－S6)，所以S9＝S3，所以＝。 44S34

【答案】

3

4

二、双基查验

1．等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( ) A．4 C．16

【解析】 a2·a6＝a24＝16。故选C。 【答案】 C

2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( ) A．64 C．128 【解析】 q＝

B．81 D．243 B．8 D．32

a2＋a3

＝2， a1＋a2

故a1＋a1q＝3?a1＝1，a7＝1×27－1＝64。故选A。 【答案】 A

3．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )

(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A．2018年 C．2020年

B．2019年 D．2021年

【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130× 1.12

n－1

。由130×1.12

n－1

lg2－lg1.3lg2－lg1.30.30－0.11

>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈lg1.12lg1.120.05

＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元。故选B。

【答案】 B

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4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________。 【解析】 ∵S3＋3S2＝0， ∴a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0， ∴a1(4＋4q＋q2)＝0。 ∵a1≠0，∴q＝－2。 【答案】 －2

5．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________。

【解析】 解法一：各项均为正数的等比数列{an}中a10a11＝a9a12＝…＝a1a20， 则a1a20＝e5，

lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a20)10＝lne50＝50。

解法二：各项均为正数的等比数列{an}中a10a11＝a9a12＝…＝a1a20， 则a1a20＝e5，

设lna1＋lna2＋…＋lna20＝S， 则lna20＋lna19＋…＋lna1＝S， 2S＝20ln(a1a20)＝100，S＝50。 【答案】 50

微考点 大课堂 考点一 【典例1】 {an}为等比数列，求下列各值。 1

(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；

2(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q； (3)已知q＝－2，S8＝15(1－2)，求a1。 【解析】 (1)解法一：

等比数列的基本运算 ?a4＋a7＝a3·q＋a6·q＝qa3＋a6＝18，∵?

a＋a＝36，?36

1∴q＝。

2

又∵a3＋a6＝a3(1＋q3)＝36，∴a3＝32。

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