（完整版）线性代数超强的总结（不看你会后悔的）

??1??2?A(?1,?2,L,?n)?(A?1,A?2,L,A?n)?(?1?1,?2?2,L,?n?n)???1,?2,L,?n??O1442443??P????. ???n?144424443?A???B??√ 若A:B, C:D,则：?. :?????C???D?√ 若A:B,则f(A):f(B),f(A)?f(B).

二次型 f(x1,x2,L,xn)?XTAX A为对称矩阵 X?(x1,x2,L,xn)T

A与B合同 B?CTAC. 记作：A;B （A,B为对称阵,C为可逆阵） √ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A:B √ 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)?r(B)

正交变换n√ f(x1,x2,L,xn)?XAX经过合同变换可逆线性变换TX?CY化为f(x1,x2,L,xn)??diyi2标准型.

1√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.

√ 当标准型中的系数di为1，-1或0时,则为规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

r(A){正惯性指数?负惯性指数

?1?O????√ 任一实对称矩阵A与惟一对角阵????????

1?1O?10O???????合同. ?????0??13

√ 用正交变换法化二次型为标准形:

① 求出A的特征值、特征向量； ② 对n个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C（正交矩阵）,C?1AC??；

④ 作变换X?CY,新的二次型为f(x1,x2,L,xn)??diyi2,?的主对角上的元素di即为A的

n1特征值.

正定二次型 x1,x2,L,xn不全为零，f(x1,x2,L,xn)?0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

① 正惯性指数为n； ② A的特征值全大于0；

③ A的所有顺序主子式全大于0；

④ A合同于E，即存在可逆矩阵Q使QTAQ?E； ⑤ 存在可逆矩阵P，使A?PTP （从而A?0）；

???1??⑥ 存在正交矩阵，使CTAC?C?1AC???2???O? ???n?√ 成为正定矩阵的必要条件：aii?0 ； A?0.

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?i大于0）. （