?100－n?＋π×49.5×100－n，
S＝πr＋πr×AD＝π×??2n?2n?
2
2
则f(n)＝10nS＋31.4×1×49.5(n－1)
?100－n?2100－n??＝10n?π×??＋π×49.5×2n?＋31.4×1×49.5(n－1) 2n?????（100－n）＋49.5×100－n＋49.5（n－1）? ＝31.4×??4n2??
31.4?（100－n）
＋99（100－n）＋198（n－1）?＝×?? n4??31.4?100
＋100n＋9 502?＝×??
4?n?＝
31.4??100??×?100×?＋n?＋9 502?， 4??n??
2
22
100
因为＋n≥2
n100
·n＝20，当且仅当n＝10时等号成立，
n所以，当且仅当n＝10时，f(n)取得最小值， 即当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．
题型(二) 与三角形、多边形有关的实际应用题 主要考查与三角形有关的实际应用题，所建立函数模型多为三角函数模型.
[典例感悟]
[例2] (2020·江苏高考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室
大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段
MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ.
(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sin θ的取值范围；
(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
[解] (1)如图，设PO的延长线交MN于点H，则PH⊥MN， 所以OH＝10.
过点O作OE⊥BC于点E， 则OE∥MN，所以∠COE＝θ， 故OE＝40cos θ，EC＝40sin θ，
则矩形ABCD的面积为2×40cos θ·(40sin θ＋10) ＝800(4sin θcos θ＋cos θ)，
1
△CDP的面积为×2×40cos θ(40－40sin θ)
2＝1 600(cos θ－sin θcos θ)．
过点N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GK＝KN＝10. 1?π?连结OG，令∠GOK＝θ0，则sin θ0＝，θ0∈?0，?.
6?4?π??当θ∈?θ0，?时，才能作出满足条件的矩形ABCD，
2??
?1?所以sin θ的取值范围是?，1?.
?4?
答：矩形ABCD的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP的面积为1 600(cos
??θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是?，1?.
?
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k(k>0)，乙的单位面积的年产值为3k(k＞0)，
则年总产值为4k×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k×1 600(cos θ－sin θcos θ) π??＝8 000k(sin θ cos θ ＋cos θ)，θ∈?θ0，?.
2??π??设f(θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈?θ0，?， 2??
则f′(θ)＝cosθ－sinθ－sin θ＝－(2sinθ＋sin θ－1) ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1)． π
令f′(θ)＝0，得θ＝，
6
π??当θ∈?θ0，?时，f′(θ)＞0，所以f(θ)为增函数； 6??
2
2
2
1
?4
?ππ?当θ∈?，?时，f′(θ)＜0，所以f(θ)为减函数． ?62?
π
所以当θ＝时，f(θ)取到最大值．
6
π
答：当θ＝时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6
[方法技巧]
三角应用题的解题策略
(1)解三角应用题是数学知识在生活中的应用，要想解决好，就要把实际问题抽象概括，建立相应的数学模型，然后求解．
(2)解三角应用题常见的两种情况：
①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
(3)三角函数的值域或最值的求解方法一般有化归法、换元法、导数法．
[演练冲关]
(2020·南通等七市一模)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部分为矩形ABCD，AB，
AD的长分别为23 m和4 m，上部分是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝
(1)求图1中拱门最高点到地面的距离；
2π. 3
(2)现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ，记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．
解：(1)如图1，过O作与地面垂直的直线，分别交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点E，O1E的长即拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，
π
∠O2OC＝，CO2＝3，
3
所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2. 所以O1E＝R＋O1O2－OO2＝5.
(2)在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线，与“拱门外框”相交于点P. 当点P在劣弧CD上(不含点D)时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面的距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．
连接OB，由(1)知，在Rt△OO1B中，OB＝OO1＋O1B＝23. 以B为坐标原点，水平线l为x轴，建立平面直角坐标系． ①如图2，当点P在劣弧CD上(不含点D)
2
2
ππ时，<θ≤.
62
π
由∠OBx＝θ＋，OB＝23，得
6
O?23cos?θ＋?，23sin?θ＋??，
66
?
???
π??
??
π??
??
π??则h＝2＋23sin?θ＋?. 6??
πππ
所以当θ＋＝，即θ＝时，h取得最大值，为2＋23.
623π
②如图3，当点P在线段AD上时，0≤θ≤.连接BD，设∠CBD＝
6
φ，在Rt△BCD中，DB＝BC2＋CD2＝27，
2321427
则sin φ＝＝，cos φ＝＝. 772727
由∠DBx＝θ＋φ，得D(27cos(θ＋φ)，27sin(θ＋φ))． 所以h＝27sin(θ＋φ)＝4sin θ＋23 cos θ.
πππ
又当0<θ<时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos－23sin＝3>0，
666
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