由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求． 当QA＝15时，CQ＝AQ－AC＝15－6＝321.
此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋321.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋321(百米)． 法二：(1)如图②，过O作OH⊥l，垂足为H.
2
2
2
2
以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系．
因为BD＝12，AC＝6，所以OH＝9，直线l的方程为y＝9，点A，B的纵坐标分别为3，－3.
因为AB为圆O的直径，AB＝10， 所以圆O的方程为x＋y＝25.
3
从而A(4，3)，B(－4，－3)，直线AB的斜率为. 44
因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为－，
3425
直线PB的方程为y＝－x－. 33
所以P(－13，9)，PB＝ （－13＋4）＋（9＋3）＝15. 因此道路PB的长为15(百米)． (2)均不能．理由如下：
①若P在D处，取线段BD上一点E(－4，0)，则EO＝4<5，所以P选在D处不满足规划要求．
②若Q在D处，连接AD，由(1)知D(－4，9)， 又A(4，3)，
2
2
2
2
3
所以线段AD：y＝－x＋6(－4≤x≤4)．
4
?15?在线段AD上取点M?3，?，
4??
因为OM＝
?15?22
3＋??<3＋4＝5，
?4?
2
2
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径． 因此Q选在D处也不满足规划要求． 综上，P和Q均不能选在D处． (3)先讨论点P的位置．
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求； 当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．
当∠OBP＝90°时，设P1为l上一点，且P1B⊥AB，由(1)知，P1B＝15，此时P1(－13，9)； 当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15. 由上可知，d≥15. 再讨论点Q的位置．
由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，设Q(a，9)，
由AQ＝（a－4）＋（9－3）＝15(a>4)， 得a＝4＋321，所以Q(4＋321，9)．
此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．
综上，当P(－13，9)，Q(4＋321，9)时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝4＋321－(－13)＝17＋321.
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋321(百米)．
[方法技巧]
与圆有关应用题的求解策略
(1)在与圆有关的实际应用题中，有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程), 从而最终可以利用圆的知识来求解，如本例，需通过条件到两个定点A，B的距离之比为定值3来确定动点(拦截点)的轨迹是圆．
2
2
(2)与直线和圆有关的实际应用题一般都可以转化为直线与圆的位置关系或者转化为直线和圆中的最值问题．
[演练冲关]
(2020·南京三模)如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160 m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m．半球体球心Q到
地面的距离PQ为15 m．把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m．该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)
解：以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．
过点B作直线l与半圆Q相切，与圆C交于点M，N，连接CM，CN，过点C作CH⊥MN，垂足为H.
设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0， |45k－15|
则点Q到l的距离为＝15，
k2＋13
解得k＝或k＝0(舍)．
4
3
所以直线l的方程为y＝x，即3x－4y＝0.
4
|3×160－4×75|
所以点C(160，75)到直线l的距离CH＝＝36. 22
3＋（－4）361
因为在Rt△CHM中，CH＝36，CM＝72，所以cos∠MCH＝＝.
722π2π?π?又∠MCH∈?0，?，所以∠MCH＝，所以∠MCN＝2∠MCH＝，
2?33?
2π3
所以该游客能看到点B的时长为30×＝10(min)．
2π答：该游客能看到点B的时长为10 min.
[课时达标训练]
A组——大题保分练
1.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心
M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点
的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C4
位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. 3
(1)求新桥BC的长；
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
解：法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
由条件知A(0，60)，C(170，0)， 直线BC的斜率kBC＝ 4
－tan∠BCO＝－.
3
3
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝. 4设点B的坐标为(a，b)， 则kBC＝
4
＝－，① a－1703
b－0
b－603
kAB＝＝.②
a－04
联立①②解得a＝80，b＝120.
所以BC＝（170－80）＋（0－120）＝150. 因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 4
由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，
3即4x＋3y－680＝0.
2
2
|3d－680|680－3d由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝. 22
54＋3因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 680－3d??5－d≥80，?r－d≥80，?
所以?即?
?r－（60－d）≥80，680－3d?
??5－（60－d）≥80.解得10≤d≤35.
680－3d故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．
5所以当OM＝10 m时，圆形保护区的面积最大．
4
法二：(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝，
343
所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝. 55
因为OA＝60，OC＝170，
680OC所以OF＝OCtan∠FCO＝，CF＝
3cos∠FCO＝
850500
，从而AF＝OF－OA＝. 33
4因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝.
5400
又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝，
3从而BC＝CF－BF＝150. 因此新桥BC的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)．
因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝＝
MDMDr＝
MFOF－OM680
3
－d3＝， 5
680－3d所以r＝.
5
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m， 680－3d??5－d≥80，??r－d≥80，
所以?即?
?r－（60－d）≥80，680－3d?
??5－（60－d）≥80.
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