高考数学压轴专题2020-2021备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编含答案

径，即可求得：AB?2R，AC?方程即可求得R?【详解】

依据题意作出图形如下：

3R， BC?R，利用四面体P?ABC的体积为

3列23，再利用球的面积公式计算得解。

设四面体P?ABC的外接球的半径为R， 因为球心O 在AB上，所以AB为球的直径， 所以AB?2R，且AC?BC 由2AC?3AB可得：AC?3R， BC?R

所以四面体P?ABC的体积为V?解得：R?1113S?ABC?PO???3R?R?R? 33223 所以球的表面积S?4?R2?12? 故选：B 【点睛】

本题主要考查了锥体体积公式及方程思想，还考查了球的表面积公式及计算能力，考查了空间思维能力，属于中档题。

14．在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，?BAC?2π,AP?4，3D．72π

AB?AC?23，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为（ ）

A．32π 【答案】C 【解析】 【分析】

先求出VABC的外接圆的半径，然后取VABC的外接圆的圆心G，过G作GO//AP，

B．48π

C．64π

1AP?2，由于PA?平面ABC，故点O为三棱锥P?ABC的外接球的球心，2OA为外接球半径，求解即可. 【详解】

且GO?在VABC中，AB?AC?23，?BAC?2??，可得?ACB?， 36则VABC的外接圆的半径

r?AB23??23，取VABC的外接圆的圆心2sinACB2sinπ6G，过G作GO//AP，且GO?1AP?2， 2因为PA?平面ABC，所以点O为三棱锥P?ABC的外接球的球心， 则OA?OG?AG，即外接球半径R?2222?232??2?4，

则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为4πR2?4π?16?64π. 故选C.

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

15．在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1?5，垂直于AA1的截面分别与面对角线D1A，B1A，B1C，D1C相交于四个不同的点E，F，

G，H，则四棱锥A1?EFGH体积的最大值为（ ）.

8A．

3B．

125 8C．

128 25D．

640 81【答案】D 【解析】 【分析】

由直棱柱的特点和底面为正方形可证得四边形EFGH为矩形，设点A1到平面EFGH的距离为5t?0?t?1?，可表示出EF,FG，根据四棱锥体积公式将所求体积表示为关于t的函

数，利用导数可求得所求的最大值. 【详解】

Q四棱柱ABCD?A1B1C1D1为直四棱柱，?AA1?平面ABCD，AA1?平面A1B1C1D1

?平面EFGH//平面ABCD，平面EFGH//平面A1B1C1D1，

由面面平行性质得：EF//B1D1//GH，EH//AC//FG， 又B1D1?AC，?EF?FG，?四边形EFGH为矩形. 设点A1到平面EFGH的距离为5t?0?t?1?，

QAC?B1D1?42，?EF?42?1?t?，FG?42t， 116023?四棱锥A1?EFGH的体积V??5t?32t?1?t??t?t，

33???V??160?2??2?2?t?t?0,?2t?3t，当时，，当V?0?????,1?时，V??0，

33?3???160?48?6402?????. 时，Vmax?3927813???当t?故选：D. 【点睛】

本题考查立体几何中的体积最值的求解问题，关键是能够将所求四棱锥的体积表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用导数来求解函数最值，从而得到所求体积的最值.

16．等腰三角形ABC的腰AB?AC?5，BC?6，将它沿高AD翻折，使二面角

B?AD?C成60?，此时四面体ABCD外接球的体积为（ ）

A．7? 【答案】D 【解析】 分析：

详解：由题意，设?BCD所在的小圆为O1，半径为r，

B．28?

C．1919? 6D．287? 3又因为二面角B?AD?C为600，即?BDC?600，所以?BCD为边长为3的等边三角形，

3?23，即BE?23，

sin600设球的半径为R，且AD?4，

又正弦定理可得，2r?在直角?ADE中，?2R??AD2?DE2?4R?42?(23)2?28， 所以R?244287?，故选D． 7，所以球的体积为V??R3???(7)3?333

点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.

17．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为( )

A．6 【答案】A 【解析】

B．5 C．2 D．1

由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥P?ABCD：