电大离散数学(本)形考任务2

离散数学作业2

姓 名： 王稼骏 学 号：18 得 分： 教师签名： 离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业．

要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择：

1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅．

2. 在线提交word文档

3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传．

一、填空题

1．设集合A?{1,2,3},B?{1,2}，P(A)-P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A? B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ．

2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

R?{?x,y?x?A且y?B且x,y?A?B} 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}．

4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系 R＝{?x,y?y?2x,x?A,y?B}那么R－1＝{<6,3>,<8,4>}．

5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，则R具有的性质是 没有任何性质 ．

6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={, , , }，若在R中再增加两个元素 ，则新得到的关系就具有对称性． 7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．

8．设A={1, 2}上的二元关系为R={|x?A，y?A, x+y =10}，则R的自反闭包为 <1,1>,<2,2> ．

9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．

10．设A={1，2}，B={a，b}，C={3，4，5}，从A到B的函数f ={<1, a>, <2, b>}，从B到C的函数g={< a，4>, < b，3>}，则Ran(g? f)= {<1,b>,<2,a>} ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系．

解：（1）错误。R不具有自反的关系，因为<3,3>不属于R （2）错误。R不具有对称的关系，因为<2,1>属于R

2．设A={1，2，3}，R={<1，1>, <2，2>, <1，2> ，<2，1>}，则R是等价关系．

解：不是等价关系。因为3是A的一个元素， 但 <3,3>不在关系R中。等价关系R必须有： 对A中任意元素a, R含

3．若偏序集的哈斯图如图一所示，

a ? b ? d ? e ? ? f 图一 ? c ? g

? h

则集合A的最大元为a，最小元不存在．

解：错误

集合A 的最大元不存在，a是极大元

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：A?B，并说明理由．

(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2) f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

解：（1）不构成函数。因为对于3属于A，在B中没有元素与之对应

（2）不构成函数。因为对于4属于A，在B中没有元素与之对应 （3）构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应

三、计算题

1．设E?{1,2,3,4,5},A?{1,4},B?{1,2,5},C?{2,4}，求：

(1) (A?B)?~C； (2) (A?B)- (B?A) (3) P(A)－P(C)； (4) A?B．

解：

（1）(A?B)?~C={1}?{1,3,5}?{1,3,5} （2）(A?B)- (B?A)={1，2,4,5}-{1}={2,4,5}

（3）P(A)?P(C)?{?,{1},{4},{1,4}}?{?,{2},{4},{2,4}}?{{1},{1,4}} （4）A?B =(A?B)－（A?B）={1,2,4,5}?{1}?{2,4,5}

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（A?B）； （2）（A∩B）； （3）A×B．

解：

（1）A?B ={{1},{2}} （2）A∩B ={1,2} （3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2, {1,2}>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={|x?A，y?A且x+y?4}，S={|x?A，y?A且x+y<0}，试求R，S，R?S，S?R，R-1，S-1，r(S)，s(R)．

解：

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>} S=空集 R?S=空集 S?R=空集

R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>} S-1 =空集

r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．

(1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．

解

(1)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}

(3)集合B没有最大元，最小元是2

四、证明题

1．试证明集合等式：A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)． 证明：设，若x∈A? (B?C)，则x∈A或x∈B?C，

即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C． 即x∈A?B 且 x∈A?C ， 即 x∈T=(A?B) ? (A?C)，

所以A? (B?C)? (A?B) ? (A?C)．

反之，若x∈(A?B) ? (A?C)，则x∈A?B 且 x∈A?C， 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，

即x∈A或x∈B?C， 即x∈A? (B?C)，

所以(A?B) ? (A?C)? A? (B?C)． 因此．A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

2．试证明集合等式A? (B?C)=(A?B) ? (A?C)．

证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B

∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，

也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以S?T． 反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C， 即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C

也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以T?S． 因此T=S．

3．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：（1）对于任意∈A×B，其中a∈A，b∈B,因为A×B= A×C，

必有∈A×C,其中b ∈C因此B?C

（2）同理，对于任意∈A×C,其中，a∈A，c∈C，因为A×B= A×C必有∈A×B，其中c∈B，因此C?B 由（1）（2）得B=C

4．试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则R∩S也是集合A上的自反关系．

证明：若R与S是集合A上的自反关系，则任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜

x,x＞∈S,

从而＜x,x＞∈R∩S,注意x是A的任意元素，所以R∩S也是集合A上的自反关系．