生成序列，[a,b]T=BTB???1BTY，则称
dx(1)?ax(1)?bdt
为灰色微分方程
(0)(1)x(k)z(k)=b +a
的白化方程，也叫影子方程。
TT[a,b]BBaa 定理1.2 ： 设B,Y, 如定理3.1.1所述，，= =
?????1BTY则
dx(1)?ax(1)?b(1)白化方程，dt的解也称时间响应函数为
b?b?x(1)(t)??x(1)(0)??e?at?a?a ?(2) GM(l，1)灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的时间响应序列为
b??akb?(0)?x(1)???e?(1)x(k?1)?a?a ； k=l，2，?，n
?
(1)(0)x(0)?x(1)则 (3)取
b??akb?(1)?x(0)???e?(1)x(k?1)?a?a ； k=l，2，?，n
?
(4)还原值
x(k?1)＝x(k?1)-x(k) ； k=l，2，?，n (3 .5)
(0)?(1)??(1)
定义1.3 ： 称CM(1，l)模型中的参数-a为发展系数，b为灰色作用量。 -a反映了别x?(0)及x?(1)的发展态势，一般情况下，系统作用量应是外生的或前定的，而CM(1，
l)是单序列建模，只用到系统行为序列(或称输出序列、背景值)，而无外作用序列(或
称输入序列、驱动量)。CM(1，l)中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的。灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模(黑箱建模)的分水岭，也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志。
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1.2、 GM(1,1)建模可行性判断
并不是所有的GM(1,1)都是有效的，只有符合灰建模三条件的序列，才可作GM（1,1)建模。
(0)(0)(0)(0)(0)x(1)x(2)x(n)?(k)为x(0)的级比 x 定理1.3 ： 令，=( , ,? ，)令
(0)?(0)(k) ＝x(k) , k>3 ；
(0)x(k?1)
(0)(0)(0)?(0.1353,7.389)?(k)?(k)x(k)可作非畸形的GM(1,1)建模。级比可容则当满足,
区((0.1353,7.389)是GM(1,1)建模的基本条件，然而不是实用条件。也就是说要想建立
(0)?(k)应落于靠近1的一个子区间(1-?,l+?)，即满意有效的GM(1,1)模型，级比
(1-?,l+?)?(0.13 53, 7.389)。这个子区间，就叫做级比界区。
(0)确定级比界区的途径是:从原序列x的界区出发，最后找出?(0)(k)的界区。
界区的结论即建模的实用条件是: (1) a的界区:
a?((0)?(k)的界区: (2)
?22,)n?1n?1 ；
??2??2???????(0)?n???n?1??? ； ?(k)?e,e????从中可得出结论:n越小，数据越少，界区越大，则建模条件越宽裕;n越大，数据越多，界区越小，则建模条件越苛刻
。
1.3、 GM(1,1)模型的适用范围
模型都有其适用范围，GM(1,1)模型也不例外，其适用范围是与发展系数-a。相关
的，只有在?a<2的条件下，GM(1,1)才有意义。而且，随着发展系数的增加，模拟误差迅速增大。一般来说，有如下结论，
(l)当?a?0.3时，GM(1,1)可用于中长期预测;
(2)当0.3??a?0.5时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用;
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(3)当0.5??a?0.8时，用GM(1,1)作短期预测应十分谨慎; (4)当0.8??a?1时，应采用残差修正GM(1,1)模型; (5)当?a?1时，不宜采用GM(1,1)模型。
1.4 GM(1,1)模型的检验
(0)(0)(0)(0)x(1)x(2)x(n)) x 定义1.4 ：设原始序列=( , ,? ，
相应的模型模拟序列 x残差序列 ?其中: ?
相对误差序列
(0)?(0)=(x(1) , x(2),?,x(n)) =(?(0)?(0)?(0)?(0)(0)(1),?(0)(2),?,?(0)(n))
(k)=x(k)?x(0)?(0)(k) ; k= 1, 2, ?,n
(0)?(n) ?=((0), (0),?,(0)) =??k?
x(n)x(1)x(2)?(0)(1)?(0)(2)
_(0)n?(k)1(1)对于k?n，称?k=(0)为k点模拟相对误差，称?=?k 为平均 ?nk?1x(k) 模拟相对误差;
(2)称1－?为平均相对精度，1一?k为k点模拟精度， k= 1, 2, ?,n (3)给定?，当?
对关联度。若对于给定的?0 > 0，有???0，则称模型为关联度合格模型。
定义1.6 ： 设x
_(0)为原始序列，x?(0)为相应的模拟序列,?(0)为残差序列，
_1n(0)1n(0)2x??x(k)S1??(x(k)?x)2(0)nk?1nk?1则 ，分别为x的均值、方差；
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_1n(0)1n(0)2????(k)S2??(?(k)??)2nk?1nk?1 ，分别为残差的均值、方差。 _
(1)称C=
S2为均方差比值。对于给定的C0>0，当C _p0 >0当p>p0时，称模型为小误差概率合格模型。 上述三个定义给出了检验模型的三种方法，这三种方法都是通过对残差的考察来判断模型精度的。其中平均模拟相对误差?及均方差比值C要求越小越好，关联度?和小误差概率p要求越大越好。(因为C小说明S2小，S1大，即模拟误差方差小，原始数据方差大。这说明模拟误差比较集中，摆动幅度小;原始数据比较分散，摆动幅度大。所以模拟效果好要求S2与S1相比尽可能小些。)给定?, __?，C0，p0的一组取值，就 确定了检验模型模拟精度的一个等级。常用的精度等级见表1-1，可供检验模型时参考。 二、模型一的建立与求解 在实际建立模型时, 系统的原始序列数据不一定全部用来建模, 不同维数(或长度)序列建模, 所得参数a , b 的值是不一样的, 因而模型的预测值也不同, 它们构成一个预测灰区间。为提高预测精度, 必须筛选适当维数的灰色模型。从预测实效出发, 本文并不直接由表1-2 中总人口序列建模, 而是先对原始数据进行一阶差分处理, 求出各年净增人口序列, 然后应用净增人口序列建模计算净增人口预测值, 再加上上年总人口值, 得出所预测年份总人口值。为筛选合适的模型, 这里分别选取5～8维年净增人口短序列, 建立灰色动态GM (1 , 1)模型。并对2005年的我国实际总人口进行检验性预测。其结果列表1-3。 8
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