（1）设P(x,y)，M(x0,y0)，
则N(x0,0),NP?(x?x0,y),NM?(0,y0) 由NP?2NM得
x0?x,y0?2y 2x2y2??1 因为M(x0,y0)在C上，所以22因此点P的轨迹方程为x?y?2 （2）由题意知F(?1,0)
设Q(?3,t),P(m,n)，则
22OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQPF?3?3m?tn，
22由OQPQ?1得?3m?m?tn?n?1
又由（1）知m?n?2，故 所以OQPF?0，即OQ?PF. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. 21.（12分） 解：
（1）f(x)的定义域为(0,??)
设g(x)?ax?a?lnx，则f(x)?xg(x),f(x)?0等价于g(x)?0 因为g(1)?0,g(x)?0， 故g?(1)?0， 而g?(x)?a?得a?1
若a?1，则g?(x)?1?221,g?(1)?a?1， x1 x当0?x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递减； 当x?1时，g?(x)?0,g(x)单调递增
所以x?1是g(x)的极小值点，故g(x)?g(1)?0 综上，a?1
2（2）由（1）知f(x)?x?x?xlnx,f?(x)?2x?2?lnx
设h(x)?2x?2?lnx，则h?(x)?2?1 x当x?(0,)时，h?(x)?0；当x?(,??)时，h?(x)?0.
12121122111?2又h(e)?0,h()?0,h(1)?0，所以h(x)在(0,)有唯一零点x0，在[,??)有唯
222所以h(x)在(0,)单调递减，在(,??)单调递增.
一零点1，且当x?(0,x0)时，h(x)?0；当x?(x0,1)时，h(x)?0；当x?(1,??)时，h(x)?0.
因为f?(x)?h(x)，所以x?x0是f(x)的唯一极大值点. 由f?(x0)?0得lnx0?2(x0?1)，故f(x0)?x0(1?x0). 由x0?(0,1)得f(x0)?1. 4?1?1因为x?x0是f(x)在(0,1)的最大值点，由e?(0,1),f?(e)?0得
f(x0)?f(e?1)?e?2.
所以e?2?f(x0)?2?2
（二）选考题： 22.解：
（1）设P的极坐标为(?,?)(??0)，M的极坐标为(?1,?)(?1?0).
由题设知|OP|??,|OM|??1?4 cos?由|OM||OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0) 因此C2的直角坐标方程为(x?2)?y?4(x?0)
22（2）设点B的极坐标为(?B,?)(?B?0).
由题设知|OA|?2,?B?4cosa， 于是?OAB面积
?2?3. 当a???12时，S取得最大值2?3
所以?OAB面积的最大值为2?3 23.解：
（1）(a?b)(a?b)?a?ab?ab?b （2）因为(a?b)?a?3ab?3ab?b
所以(a?b)?8，因此a?b?2.
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