16.(6分)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个顶点叫做格点.
(1)在图(1)中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图(2)中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2,,
,这个三角形的面积为 .
,
解:(1)面积为10的正方形的边长为
因为
=
,
所以如图(1)所示的四边形即为所求. (2)因为
=,
=
,
所以如图(2)所示的三角形即为所求. 这个三角形的面积为×2×2=2.
17.(8分)如图,一个直径为10 cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1 cm,当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),筷子顶端刚好触到杯口,求筷子长度和杯子的高度.
解:设杯子的高度是x cm,那么筷子的高度是(x+1)cm,
根据勾股定理得x2+52=(x+1)2, 所以x2+25=x2+2x+1, 所以x=12,12+1=13(cm). 答:杯子高12 cm,筷子长13 cm.
18.(8分)学了勾股定理后,刘老师给学生布置了一道题:如图△ABC中,∠B=45°,∠BAC=75°,AB=,求BC的长.有些同学认为△ABC不是直角三角形,求不出BC的长,老师让学生小组合作,经过讨论形成共识:可以通过作垂直构建直角三角形求解.请你结合他们的思路完成这一问题.
解:如图过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,∠B=45°,所以DA=DB, 由勾股定理得AD2+BD2=AB2=6, 解得AD=DB==.
因为∠B=45°,∠BAC=75°,所以∠C=60°, 所以∠DAC=30°,所以CD=AC, 由勾股定理得AD2+CD2=AC2,
即3+CD2=4CD2,解得CD=1.则BC=BD+CD=+1.
19.(8分)小红同学要测量A,C两地的距离,但A,C之间有一水池,不能直接测量,于是她在A,C同一平面上选取了一点B,测量得到AB=80米,BC=20米,∠ABC=120°,请你帮助小红同学求出A,C两点之间的距离(参考数据:
≈4.5,
≈4.6)
解:如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D,
因为∠ABC=120°,所以∠CBD=60°. 在Rt△BCD中,∠BCD=90°-∠CBD=30°, 所以BD=BC=×20=10(米), 所以CD=
=10(米),
所以AD=AB+BD=80+10=90(米). 在Rt△ACD中,AC=
≈92(米).
答:A,C两点之间的距离约为92米.
20.(8分)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300 km 和400 km,又AB=500 km,以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域.
(1)海港C受台风影响吗?为什么?
(2)若台风的速度为20 km/h,台风影响该海港持续的时间有多长? 解:(1)海港C受台风影响. 理由:如图,过点C作CD⊥AB于D,
因为AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km, 所以AC2+BC2=AB2. 所以△ABC是直角三角形.
所以AC·BC=CD·AB,所以300×400=500CD, 所以CD=
=240(km).
因为以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域,所以海港C受到台风影响.
(2)当EC=250 km,FC=250 km时,正好影响海港C, 因为ED=
=70(km),所以EF=140 km,
因为台风的速度为20 km/h,所以140÷20=7(h), 即台风影响该海港持续的时间为7小时. 附加题(共20分)
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