提交版--多元函数的极值及其应用

多元函数的极值及其应用

摘 要

函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。在数学分析中，讨论了二元函数的极值、极值的充分、必要条件、条件极值以及求条件极值的拉格朗日乘数法。本论文讨论了多元函数的极值及其应用。在第一章中，我们将二元函数极值的讨论形式上推广到多元函数的极值上，给出了多元函数极值的充分、必要条件。在第二章中，通过具体实例，我们总结讨论了多元函数的条件极值的求法，有代入消元法、拉格朗日乘数法、梯度法、不等式、二次方程判别式、数形结合法等五个方法，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的求法，同一个极值问题也可以有几种不同的求法，所以我们需选择适当的方法，掌握正确的解题思路。在第三章中，我们总结归纳了多元函数的极值、条件极值在实际生活中的各种应用，在数学上，我们可以用来证明某些不等式、讨论圆内切n边形的最大面积等，在经济学中，可用来讨论效益最优化的问题，在物理学上，可用来讨论光的折射的最短路径等等，由此，我们可以体会到如何将实际生活中的问题转化成讨论极值问题的数学模型，并用我们总结的方法予以解决。

关键词：多元函数 极值 条件极值 拉格朗日乘数法

Extreme Value Of Multivariate Function And Its

Application

ABSTRACT

Function extreme value has always been an important content of mathematical research, there are many in the science and production practice related to extreme value problem.In mathematical analysis, discussed the the extremum of the extreme value of binary function, necessary and sufficient conditions, conditional extremum

and Lagrange multiplier method of conditional extreme value. The extremum of function of many variables and its application are discussed in this paper.In the first chapter, we will discuss formally promotion to the extreme value of binary function on the extreme value of multivariate function is given, the necessary and sufficient conditions for the the extremum of function of many variables.In the second chapter, through specific examples, we summarize the conditional extreme value of multivariate function is discussed, the application of minimal polyomial to have substitution elimination method, the Lagrange multiplier method, gradient method, inequality, quadratic equation discriminant, in combination with number form, such as the five methods, we can see different conditional extreme value problem can have different religion, there are some different in this extremum problems can also be the same, so we need to choose the appropriate method, to master the correct way.In the third chapter, we summarized the extremum of function of many variables, conditional extreme value in the practical application of life, in mathematics, we can be used to prove some inequalities, discuss the circle edge trimming of the large area, etc., in economics, can be used to discuss the problem of optimization, in physics, can be used to discuss the shortest path of the refraction of light, etc., as a result, we can realize how will discuss the problems in the real life into the extremum problems of mathematical model, and we summarize the methods to solve.

Keywords: Multivariate function The extreme Conditional extreme value

Lagrange multiplier method

目 录

前 言 ........................................................................ 1 第一章 多元函数的极值 ......................................................................................................................... 1

1.1 二元函数的极值 ........................................................ 1 1.2 n元函数的极值 ........................................................ 5

第二章 多元函数的条件极值 ............................................................................................................... 9

2.1 代入消元法 ............................................................ 9 2.2 拉格朗日乘数法 ....................................................... 10 2.3 梯度法 ............................................................... 14 2.4 不等式法 ............................................................. 17 2.4 二次方程判别式 ....................................................... 19 2.5 数形结合法 ........................................................... 20

第三章 多元函数极值的应用 ............................................................................................................. 23

3.1 函数极值在数学中的应用 ............................................... 23 3.2 函数极值在经济中的应用 ............................................... 26 3.3 函数极值在物理学中的应用 ............................................. 27 3.4 函数极值在化学中的应用 ............................................... 28

参考文献 ............................................................................................................................................................ 30

前 言

函数极值在数学问题上占有非常重要的作用，其求解与发展大力的推动了微积分学科的发展并做出了重大贡献。而且函数极值在实际生产生活和其他学科中有着广泛的应用，由于函数极值涉及的知识面非常广，加之函数本身变化繁杂，且与经济管理、生物科技、工程管理等重要领域密切相关，故对函数极值的研究是非常必要的。

本论文是一篇总结、研究性论文，目的是对函数极值的求法及应用作一个比较全面的认识和理解。首先，我们将数学分析中关于一元、二元函数的极值理论推广到n元函数上，给出了多元函数极值的充分、必要条件。然后，由于实际生活中的一些问题往往可抽象为带约束条件的极值问题，所以我们重点要讨论多元函数条件极值的求法，结合例题，我们总结、归纳、比较了五种方法：代入消元法、拉格朗日乘数法、梯度法、不等式、二次方程判别式、数形结合法，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的求法，同一个极值问题也可以有几种不同的求法，所以对于条件极值问题，我们需选择适当的方法，掌握正确的解题思路，简洁明了地做出解答。最后，我们总结了极值问题在其他学科以及实际生活中的应用，以此体会如何将实际生活中的问题转化成讨论极值问题的数学模型，并用我们总结的方法予以解决。

第一章 多元函数的极值

1.1 二元函数的极值

定义1.1[1] 设二元函数z?f?x,y?的定义域为D，点M0?x,y?为D的内点，如果在点

M0?x0,y0?的某个邻域U?M0??D内有

f?x,y??f?x0,y0?（或f?x,y??f?x0,y0?）

则称二元函数z?f?x,y?在点M0?x0,y0?取得极大值（或极小值），极大值、极小值统称为

极值，使函数取得极值的点称为极值点。

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