则分布列为 1 2 3 P
【点睛】本题考查回归直线，离散型随机变量及分布列，熟记回归直线求解方法，熟练计算，分布列是关键，是中档题. 19.如图，已知三棱柱
，侧面
为菱形，
.
（1）求证：（2）若
平面，
；
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见证明；(2)【解析】 【分析】 （1）由平面以
为菱形，得；（2）法一：证明所在的直线为轴，以的法向量与平面
得到
为等腰三角形，取
，又由
得到
，连接，得进一步证得
，即可证明
，
所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立坐标系求平面
的法向量，利用二面角向量公式求解即可；法二：证明设
，得
，则
，因此
为等腰三角形，证得
也
的中点，连接为二面角的平面角，在
中，运用余弦定理求解角即可. 【详解】（1）因为侧面 因为
，连接
为菱形，所以，所以
，
， ，
所以平面
（2）解法一： 因为所以
，
令如图，
，
则
，又
，可得 ， ，
，则
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以
所在的直线为轴建立坐标系．
设平面
的法向量为
，令
，则
同理平面的法向量为,
所以，二面角（2）解法二： 因为所以
，设
的余弦值为
，则
，因为
，侧面
为菱形，所以
，
又因为那么平面角 在
，可得也为等腰三角形，取
， 所以的中点，连接
，因此
，则
为等腰三角形，
为二面角
的
中，可得
所以
所以，二面角的余弦值为
【点睛】本题考查线面垂直的判定，空间向量求二面角，熟练掌握线面垂直判定定理，熟练计算向量是关键，第二问法一先证明三线两两垂直才能建系，法二寻找二面角的方法是难点，是中档题， 20.已知椭圆
（1）求椭圆的方程； （2）过点与直线
作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
(2)见解析 （
）的离心率为
，且经过点
.
【答案】(1) 【解析】 【分析】
（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线的斜率互为相反数，即为
，整理
与直线恰关于轴对称，等价于
.设直线的方程
，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.
，
，又
，
【详解】(1)由题意可得解得
，
.
所以，椭圆的方程为 (2)存在定点设直线的方程为设
，
，定点
与直线
恰关于轴对称.
.
，满足直线
，与椭圆联立，整理得，.(依题意
则由韦达定理可得，直线所以，又所以，从而可得，即所以，当轴时，
， ，即，
与直线
，.
的斜率互为相反数.
.
恰关于轴对称，等价于
，即得
，
，整理得，，
.
时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为
，满足直线
与直线
也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点
恰关于轴对称.
【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题. 21.已知函数（1）讨论函数（2）若函数
的单调性；
有两个极值点，，且
，求证：
.
，为常数.
【答案】(1)见解析(2)见证明 【解析】 【分析】 （1）
分子所对应的二次函数
,分情况讨论
满足
的正负以及
，所以的函数即
根与1的大小关系，即可；（2）由（1）得两个极值点
，则
，将
化简整理为
，构造函数求导证明不等式即可.
【详解】(1)函数的定义域为由题意，（i）若在
，则单调递减.
. . ，于是
，当且仅当
时，
，所以
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