历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(2)

历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(2)

计算题(9道题)

1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。

AEB

1998年全国数学联赛试卷

FC

解法1 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，

∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠CED+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽△CED，

又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．

解法2 作FH⊥CE于H，设FH=h．

∵∠ABE+∠AEB=90°， ∠FEH+∠AEB=90°， ∴∠ABE=∠FEH．

∴Rt△EHF∽Rt△BAE．

即EH=2h，

又∵HC=FH，

2．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

1999年全国初中数学竞赛

解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．

∵AB=BD，O是圆心， ∴BH⊥AD． 又∵∠ADC=90°， ∴BH∥CD．

从而△OPB∽△CPD．

，

∴CD=1．

于是AD= 又OH= AB= BC=

所以，四边形ABCD的周长为

CD=

，于是

， ．

．

．

3、如图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。

2000全国初中数学竞赛试题 解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，

∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝3。

∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。

∴

，

，∵E是AC的中点，∴

，∴

，∴

4．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程x2?2(k?2)x?k?0（k是整数）的