中考数学复习方案：
提分专练(六) 与切线有关的计算与证明
1.[2019·天津]已知PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=80°,C为☉O上一点. (1)如图T6-1①,求∠ACB的大小;
(2)如图T6-1②,AE为☉O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求∠EAC的大小.
图T6-1
2.[2019·江西联考]如图T6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的☉O与AB边交于点
D,连接DE.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若CD=6 cm,DE=5 cm,求☉O直径的长.
图T6-2
1
3.[2019·九江二模]如图T6-3,已知,在Rt△ABC中,以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆,圆心为点O,这个圆交线段BC于点E,点G为BD的中点. (1)求证:GE为☉O的切线; (2)若????=2,GE=6,求AD的长.
????1
图T6-3
4.如图T6-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,经过A,D两点的圆的圆心O恰好落在AB上,☉O分别与AB,AC相交于点E,F. (1)求证:BC为☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,AC=3,求BD的长.
图T6-4
2
5.[2019·江西样卷六]如图T6-5,点C在以AB为直径的☉O上,将△ABC沿边AC翻折得到△ACD,再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在☉O上的点F处. (1)求证:直线CE是☉O的切线;
(2)当AB=10,且tan∠DAB=时,求CE的长.
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图T6-5
6.[2019·南昌调研]如图T6-6,已知☉O的直径AB为4,CD为弦,AB与CD交于点M,将?????沿着CD翻折后,点
A与圆心O重合,延长OA至点P,使AP=OA,连接PC.
(1)求CD的长.
(2)求证:PC是☉O的切线.
(3)点G为??????? 的中点,在PC的延长线上,有一动点Q,连接QG交AB于点E,交?????于点F(F与B,C不重合),则GE·GF是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
图T6-6
3
7.[2018·赣州章贡模拟] 如图T6-7,☉O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交☉O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与☉O的位置关系,并说明理由; (2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF; (3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.
图T6-7
【参考答案】
1.解:(1)如图,连接OA,OB.
∵PA,PB分别是☉O的切线, ∴OA⊥PA,OB⊥PB, 即∠PAO=∠PBO=90°. ∵∠APB=80°,
∴在四边形OAPB中,∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°, ∴∠ACB=1
2∠AOB=50°. (2)如图,连接CE.
∵AE为☉O的直径, ∴∠ACE=90°. 由(1)知,∠ACB=50°,
4
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°, ∴∠BAE=∠BCE=40°. ∵在△ABD中,AB=AD, ∴∠ADB=∠ABD=70°. ∵△ACD中,∠ADB是外角,
∴∠EAC=∠ADB-∠ACB=70°-50°=20°. 2.解:(1)证明:连接DO,如图.
∵∠BDC=90°,E为BC的中点,∴DE=CE=BE,∴∠EDC=∠ECD. 又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°, ∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,∴DE⊥OD. ∵OD是☉O的半径, ∴DE与☉O相切.
(2)在Rt△BCD中,BD=√????2-????2=√102-62=8(cm), ∵∠BCA=∠BDC=90°,∠B=∠B, ∴△BCA∽△BDC, ∴????????????????=????,即=106
8,
∴AC=15
2,
∴☉O直径的长为15
2.
3.解:(1)证明:连接OE,DE,OG,如图.
∵CD为☉O的直径,∴∠CED=90°. ∵点G为BD的中点,∴GE=1
2BD=DG,
????=????,
在△GEO和△GDO中,{????=????,
????=????,
∴△GEO≌△GDO(SSS),
∴∠GEO=∠GDO=90°.∴GE为☉O的切线. (2)∵∠ACB=90°,∠CDA=90°,∴∠ACD=∠B, ∵tanB=????1????????=2,∴tan∠ACD=????=1
2, ∴AD=1
1
2CD=2GE=3.
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