17．（本题满分14分）
如图，一楼房高AB为193米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC为4米的广告牌，CD为拉杆，广告牌的倾角为60?，安装过程中，一身高为3米的监理人员EF站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE?x米，该监理人员观察广告牌的视角?BFC??；
（1）试将tan?表示为x的函数； （2）求点E的位置，使?取得最大值．
解析：（1）作CG?AE于G，作FH?AB于H，交CG于M，
作BN?CG于N，则???CFM??BFH； 在直角?BCN中，BC?4，?CBN?60?， 则BN?2，CN?23； 在直角?CFM中， 有tan?CFM?CMCN?NM203??； MFAE?BNx?2ACDBNθCDBFE在直角?BFH中， 有tan?BFH?BH183?； HFx∴tan??tan(?CFM??BFH)?tan?CFM?tan?BFH
1?tan?CFM?tan?BFHM203183HF?23x?363x?2x； ??2203183x?2x?1080EAG1??x?2x再由题意可知：监理人员只能在G点右侧，即x?(2, ??)．????????? 7分
（2）由（1）得：tan??23x?363x?18?23?；
x2?2x?1080x2?2x?1080令t?x?18，则t?(20, ??)； ∴tan??23?tt13， ?23??23??1440(t?18)2?2(t?18)?1080t2?38t?14401210?19t??38t当且仅当t?1440即t?1210时，等号成立；此时，x?1210?18； t又易知：?是锐角，即??(0, )，而y?tan?在??(0, )是增函数；
22∴当x?1210?18时，?取最大值．■ ??????????????????? 14分
得满分者：王宇嘉、季小淇、洪宇晨、杭 慧、袁 鑫、孙 琴、石金鹏、黄少峰、仲建宇、刘剑雨、翟逸笑、张楷文、李慧敏、 陈婷婷、贺文杰．共15人． 得0分者：韩婷婷、乔 森、李继强、黄河清、缪沁杨、王 荣、王赵晨、徐智雅、陈煜琪、郭大为、顾 盼、刘晓宇、唐 潇、 贾 幼、焦晓佳、陈子慧、窦慧星、徐雨桐．另加：曹伟（仅得2分），共19人．（要订正5条）
5
??18．（本题满分16分）
如图，椭圆C的中心在原点，左焦点为F1(?1, 0)，右准线方程为：x?4； （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上点N到定点M(m, 0)(0?m?2)的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标；
（3）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A、B是所围成的矩形在x轴上方的
两个顶点；若P、Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一个交点分别为P1、Q1；且有直线 OP、OQ的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求四边形PQPQ11的面积是否为定值，并说明
理由．
x2y2解析：（1）设椭圆的方程为：2?2?1 (a?b?0)，c为半焦距；
aba2由题意可得：c?1，?4；解得：a?2，从而有b2?a2?c2?3；
cx2y2∴椭圆C的方程为：??1．???????????????????? 4分
43y（2）设N(x, y)，由定点M(m,0)，考虑距离的平方； 则MN2?(x?m)2?y2
BQPAlx2?(x?m)?3(1?)
41?x2?2mx?m2?3； 4二次函数的图象对称轴为x?4m；
2F1P1OF2Q1x由椭圆方程知：?2?x?2；??? 6分 由题设知：0?4m?8； 分类讨论：
①当0?4m?2即0?m?解得：m2?②当4m?2即
12??3m2?3?1； 时，在x?4m时有MNmin221?，不符合题意，舍去； 3412?m2?m?4?1； ?m?2时，由单调性知：在x?2时有MNmin2解得：m?1或m?3（舍）；
综上可得：m的值为2，点N的坐标为(2, 0)．?????????????? 10分
（3）由椭圆方程可知：四条垂线的方程分别为：x??2、y??3；则A(2, 3)、B(?2, 3)；
∴kOA?kOB??yy3；设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则有kOP?kOQ?12；
x1x242y1y23x12x222??（*）∴由题意可得：，而点P、Q均在椭圆上，有y1?3(1?)、y2?3(1?)； x1x24442222?16y12y2?9(4?x12)(4?x2)，即x12?x2?4；??? 12分 ∴将（*）式平方并代入可得：9x12x2(a)若x1?x2，则P、PA、OB与椭圆的交点； 1、Q、Q1分别是直线O∴四个点的坐标分别为：(2, 6666)、(2, ?)、(?2, ?)； )、(?2, 2222∴四边形PQPQ11的面积为43．?????????????????????? 14分
6
(b)若x1?x2，则可设直线PQ的方程为：y?y1?y2?y1(x?x1)； x2?x1化简可得：(y2?y1)x?(x2?x1)y?x2y1?x1y2?0； ∴原点O到直线PQ的距离为d?∴S?OPQ?x1y2?x2y1(x1?x2)2?(y1?y2)2，而PQ?(x1?x2)2?(y1?y2)2；
1112222PQ?d?x1y2?x2y1?x1y2?2x1x2y1y2?x2y1 2222x2x12132211222?3x1(1?)?x1x2?3x2(1?)?3(x12?x2)?3?4?3； 242422根据椭圆的对称性，该四边形PQPQ11也是关于O成中心对称； ∴四边形PQPQ11的面积为4S?OPQ，即为定值43；
综上所述：四边形PQPQ11的面积为定值，该定值为43．■ ????????? 16分
得10分以上者：武朝钦?15、刘剑雨?13、季小淇?12、袁峥嵘?12、郑天宇?12、张楷文?12、许黄荣?12、潘倩玉?12、 王亚丽?11、乔 森?11、韩婷婷?11．共11人．
19．（本题满分16分）
对给定数列{cn}，如果存在实常数p、q使得cn?1?pcn?q对任意n?N*都成立，我们称数列{cn}是“线性数列”； （1）若an?2n，bn?3?2n，n?N*，数列{an}、{bn}是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数p和q， 若不是，请说明理由； （2）求证：若数列{an}是“线性数列”，则数列{an?an?1}也是“线性数列”； （3）若数列{an}满足a1?2，an?an?1?3t?2n (n?N*)，t为常数，求数列{an}的前n项的和． 解析：（1）本小题的思路是：紧扣定义．
∵an?2n，∴an?1?an?2，(n?N*)；
∴数列{an}是“线性数列”，对应的实常数分别为1，2；?????????????? 2分 ∵bn?3?2n，∴bn?1?2bn，(n?N*)；
∴数列{bn}是“线性数列”，对应的实常数分别为2，0．?????????????? 4分 （2）本小题的思路依旧是：紧扣定义．
∵数列{an}是“线性数列”，∴存在实常数p、q，使得an?1?pan?q对任意n?N*恒成立； 再进一步有：an?2?pan?1?q对任意n?N*恒成立； ∴有(an?1?an?2)?p(an?an?1)?2q对任意n?N*都成立，
2q．????????? 10分 ∴数列{an?an?1}也是“线性数列”，对应的实常数分别为p、（3）本小题的思路是：成对出现，奇偶分清．
当n是偶数时，Sn?(a1?a2)?(a3?a4)?????(an?1?an)?3t?2?3t?23?????3t?2n?1
n2?3t(2?23?????2n?1)?3t?2(1?4)?t?2n?1?2t；???????? 13分 1?4n?12当n是奇数时，Sn?a1?(a2?a3)?(a4?a5)?????(an?1?an)?2?3t?22?3t?24?????3t?2n?1
?2?3t(22?24?????2n?1)?2?3t?4(1?4)?t?2n?1?4t?2；
1?4?t?2n?1?2t, n 为偶数?故Sn??n?1．■ ???????????????????? 16分
??t?2?4t?2, n 为奇数得满分者：王 倩、缪沁杨．得10分及以上者32人． 得4分以下者：李慧敏、卢稷楠、刘晓宇、徐雨桐．（要订正5条）
7
20．（本题满分16分）
已知函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a、b、c、d?R)，设直线l1、l2分别是曲线y?f(x)的两条不同的切线； （1）若函数f(x)为奇函数，且当x?1时，f(x)有极小值为?4； (i)求a、b、c、d的值； (ii)若直线l3亦与曲线y?f(x)相切，且三条不同的直线l1、l2、l3交于点G(m, 4)，求实数m的取值范围； （2）若直线l1//l2，直线l1与曲线y?f(x)切于点B且交曲线y?f(x)于点D，直线l2与曲线y?f(x)切于点C且交 曲线y?f(x)于点A，记点A、B、C、D的横坐标分别为xA、xB、xC、xD，求(xA?xB):(xB?xC):(xC?xD)的值． 解析：（1）(i)本小题：紧扣定义，用好条件，注意检验．
∵f(x)是奇函数，且x?R；∴f(0)?d?0，且?a3?bx2?cx??a3?bx2?cx即b?0； ∴f(x)?ax3?cx；∴f'(x)?3ax2?c，而当x?1时有极小值?4； ??????? 2分 ?f'(1)?0?3a?c?0?a?2?????f(x)?2x3?6x； ??????????? 4分 ∴??f(1)??4?a?c??4?c??6经检验f(x)?2x3?6x满足题意，则a?2、b?0、c??6、d?0．???????? 5分 (ii)本小题：三次函数的切线处理方法要洞明．
32?6x0，f'(x0)?6x0?6； 设P(x0,y0)是曲线y?f(x)上的一点，由(i)知：y0?2x0223?6)(x?x0)，消去y0即得：y?(6x0?6)x?4x0∴过P点的切线方程为：y?y0?(6x0；
由此切线方程形式可知：过某一点的切线最多有三条；
又由奇函数性质可知：点P3(?1, 4)是极大值点；从而l3:y?4是一条切线且过点(m, 4)； 再设另两条切线的切点为P2(x2, y2)，其中x1?x2??1； 1(x1, y1)、P23?6)x?4x2则可令切线l1:y?(6x12?6)x?4x13，l2:y?(6x2；
23?1)?2(x2?1)； 将G(m, 4)代入l1、l2的方程中，并化简可得：3m(x12?1)?2(x13?1)且3m(x222(x12?x1?1)2(x2?x2?1)从而有：m?且m?；???????????????? 8分
3(x1?1)3(x2?1)2(x2?x?1)∴x1、x2是方程m?的两根；（下面考察m取何值时，该方程有两个不相等的实根）
3(x?1)2(x2?x?1)21?(x?1??1)， 构造函数：g(x)?3(x?1)3x?121g'(x)?[1?]；由g'(x)?0?x?0 或 x?2，
3(x?1)22而g(0)??，g(2)?2，结合图象可得：
3实数m的取值范围是：
2(??, ?1)?(?1, ?)?(2, ??)．?????? 10分
3（2）注意：第1小题与第2小题没有递进关系．
2?2bx2?c； 令xB?x1，xC?x2；由f'(x)?3ax2?2bx?c及l1//l2可得：3ax12?2bx1?c?3ax2而x1?x2，化简可得：x1?x2??（下面求xA和xD） 将切线l1的方程y?y1?(3ax12?2bx1?c)(x?x1)代入y?f(x)中并化简得：（注意切点横坐标是其一解）
2b2b，即x2??x1?；????????????? 12分 3a3abb3ax3?bx2?(3ax12?2bx1)x?2ax1?bx12?0，即a(x?x1)2(x?2x1?)?0，∴xD??2x1?；
aabbb2bb同理，xA??2x2??2x1?；则xA?xB?x1?，xB?xC?2x1?，xC?xD?x1?；
a3a3a3a3a∴(xA?xB):(xB?xC):(xC?xD)?1:2:1．■ ?????????????????? 16分
得最高分者：王宇嘉9分；得最低分者：王荣1分．
8
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