专题24 平面几何的定值问题
【阅读与思考】
所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.
几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1.探求定值； 2.给出证明.
【例题与求解】
⌒上任意一点.求证：PA?PC为定值. 【例1】 如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD
PB解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.
PADBC
【例2】 如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（ ） A.到CD的距离保持不变 B.位置不变
⌒ D.随C点的移动而移动 C.等分DB
（济南市中考试题）
解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.
CAODB
P
【例3】 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线
的垂足.求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角.
（加拿大数学奥林匹克试题）
解题思路：不管ST滑到什么位置，∠SOT的度数是定值.从探寻∠SPM与∠SOT的关系入手.
TSAP
MOB
⌒上异于A，B的动点，过点C【例4】 如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°.点C是AB
作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E.连接DE，点G，H在线段DE上，且DG=GH=HE.
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
⌒上运动时，在CD，CG，DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段（2）当点C在AB的长度；
（3）求证：CD2+3CH2是定值. （广州市中考试题）
解题思路：延长OG交CD于N，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON转化成线段CH的倍分关系，再以Rt△OND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.
BEOCHGDA
【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为（-2，0），AE=8. （1）求点C的坐标；
（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；
（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，
OF的比值是否发 PF 生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）
解题思路：对于（3）从动点F达到的特殊位置时入手探求定值.
yCGAONMBxAPFEyCGOMBxE D （图1） （图2）
【例6】 如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2为定值.
解题思路：当点P与C点重合时，PA2+PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.
AOBP
C
【能力训练】
A级
1.如图，点A，B是双曲线y?3上的两点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1，则xS1?S2?_______.
（牡丹江市中考试题）
ByPAS1S2
DEFC
Bx OEAABO （第1题图） （第3题图） （第4题图）
2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.
（全国初中数学联赛试题）
3.如图，OA，OB是⊙O任意两条半径，过B作BE⊥OA于E，又作OP⊥AB于P，则定值OP2+EP2为_________.
4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点E，则直线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
（武汉市竞赛试题）
5.如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA?⊥AB，BB??AB，且AA?=AP，BB?=BP.连接A?B?，当点P从点A移动到点B时，A?B?的中点的位置（ ）
A．在平分AB的某直线上移动 B.在垂直AB的某直线上移动 C.在弧AMB上移动 D.保持固定不移动
（荆门市中考试题）
MA'B'yCEAFDxAPOBBO
（第5题图） （第6题图）
6.如图，A，B是函数y?
k
图象上的两点，点C，D，E，F分别在坐标轴上，且分别与点A，B，O构x
成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6，则长方形OEBF的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.12
（海南省竞赛试题））
7.（1）经过⊙O内或⊙O外一点P作两条直线交⊙O于A，B和C，D四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA，PB，PC，PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.
ACACCPOBD③OD(P)OBD②PB①DDOCPA④BCP⑤O(D)A(B)COA(B)P⑥
（2）已知⊙O的半径为一定值r，若点P是不在⊙O上的一个定点，请你过点P任作一直线交⊙O于不重合的两点E，F. PE·PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.
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