第三章 数据分布特征的统计描述
思考与练习
一、选择题
1．有n辆汽车在同一距离的公路上行驶的速度资料，确定汽车平均每小时行驶速度的平均数公式是：（ C ）
A．
n?xf?m?x B． C． D．
1mf?n??xx2．权数对加权算术平均数的影响，取决于（ B ）
A. 权数所在组标志值的大小； B. 权数的大小； C. 各组单位数的多少； D. 总体单位数的多少 3．是非标志不存在变异时，意味着：（ B，C ）
A. 各标志值遇到同样的成数； B. 所有单位都只具有某种属性 C. 所计算的方差为0； D. 所计算的方差为0.25
4．能够综合反映总体各个单位标志值的差异，对总体标志变异程度作全面客观评定的指标有（ A，C ）
A.方差 B.算术平均数 C.标准差 D.全距
二、判断题
1．甲乙两地，汽车去程时速20公里，回程时速30公里，其平均速度为25公里。 [答]错。本题应采用调和平均法计算平均速度。 2．权数起作用的前提是各组的变量必须互有差异。 [答]对。 3．变量同减某个数再同除于另一数然后求其方差，其方差等于原方差乘于除数的平方。 [答]对。
4．与平均数相比，中位数比较不受极端值的影响。 [答]对。
三、计算题
1．甲乙两企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如下表，试比较哪个企业的平均成本高，并分析其原因。 产品 单位成本(元) A B C 15 20 30 总成本(元) 甲企业 乙企业 2100 3255 3000 1500 1500 1500 [解]
甲企业的平均成本?2100?3000?15006600??19.4118
210030001500340??152030乙企业的平均成本?3255?1500?15006255??18.2895
325515001500342??152030由上面的计算得知，甲企业的平均成本高于乙企业。
因为乙企业单位成本低的A产品生产的数量多，占总成本一半以上，即成本低的产品相对权数大，而甲企业生产单位成本低的A产品数量少，仅占总成本的31.8%（=2100/6600）。由于权数的作用，乙企业的平均成本低于甲企业。
2．甲、乙两市场农产品价格及成交量资料如下表，试比较哪个市场的平均价格高，并分析其原因。
品种 价格(元/公斤) 甲市场成交额(万元) 乙市场成交量(万公斤) 甲 乙 丙 合计 1.2 1.4 1.5 -- 1.2 2.8 1.5 5.5 2 1 1 4 [解]
1.2?2.8?1.55.5??1.375
1.22.81.54??1.21.41.51.2?2?1.4?1?1.5?15.3??1.325 乙市场的平均价格?44甲市场的平均价格?由上面的计算得知，甲市场农产品的平均价格高高于乙市场。
因为价格低的甲产品在甲市场成交额少，仅占21.8%（=1.2/5.5）；而在乙市场的成交额大，占45.3%（=2.4/5.3），由于权数的作用，甲市场的平均价格高于乙市场。
3．某企业工人平均月工资为1440元，月收入少于1280元的占一半，试估计众数，并对该企业工人工资的分布情况做一简要说明。
[解] 由题中可知，企业工人月工资的中位数=1280 所以众数≈1440-3×(1440-1280)=960
所以众数<中位数<平均数，则该企业的月工资分布为右（正）偏，说明该企业工人的月工资分布中出现极大值，即出现有人拿到高额的工资，导致月工资分布呈右偏。
4．某城市对3000户居民户均月消费支出进行调查，得到下表资料。
居民户月均支出(元) 200以下 200～ 300 300～ 400 400～ 500 500～ 600 600～ 700 700～ 800 800～ 900 户数 30 180 450 600 1 050 300 180 120 比重(%) 1 6 15 20 35 10 6 4 900～1 000 1000以上 60 30 3 000 2 1 100.00
要求：
(1)计算居民户总平均月支出；
(2)计算居民户月均支出标准差和变异系数； (3)计算居民月均支出中位数和众数;
(4)分析平均数、中位数和众数之间的数量联系，并阐明分布的特征。 [解]（1）居民总平均月支出
?150?0.01?250?0.06?350?0.15?450?0.2?550?0.35?650?0.1
?750?0.06?850?0.04?950?0.02?1050?0.01?525（2）居民月均支出标准差
?150?525?2??250?525?2??350?525?2????1050?525?2
?881250?938.7492（3）居民户数数列向上累计频数为2310，占总户数一半以上，中位数处于在这一组，即月均支出数列500~600中。
用下限公式计算：
?fMe?LMe?2?SMe?1fMe?dMe?500?1500?1260?100
1050?500?22.8571?522.8571用上限公式计算：
?fMe?UMe?2?SMe?1fMe?dMe?600?1500?690?100
1050?600?77.1429?522.8571频数最高的（户数最多）组就是众数所在之组，众数应处于居民月均支出分组500~600这一组，用下限公式计算：
Mo?LMo??500?fMo?fMo?1(fMo?fMo?1)?(fMo?fMo?1)?dMo
1050?600?100?537.5?1050?600???1050?300?fMo?fMo?1(fMo?fMo?1)?(fMo?fMo?1)用上限公式计算：
Mo?UMo??600??dMo
1050?300?100?537.5?1050?600???1050?300?
5.某生产班组11个工人日生产零件数为：15，17，19，20，22，22，23，23，25，26，
30。要求：(1)计算平均数和方差；(2)按照15～19、20～24、24以上分成三组，计算组内方差和组间方差；(3)验证总方差等于组间方差与组内方差平均数之和。
[解]（1）总平均数x?15?17???30?22，
11222??????15?22?17?22???30?222总方差??11?178 11（2）组一（15~19）：15，17，19 ；x1?17 组内方差：?1?28 3组二（20～24）：20，22，22，23，23 ；x2?22； 组内方差：?2?26 5组三：（24以上）：25，26，30 ；x3?27； 组内方差：?3?∴组间方差
222?17?22??3??22?22??5??27?22??3150 ???2214 31111（3）证明：
总方差??16.18，组间方差??13.64
228614?3??5??32853组内方差的平均值?i2?3?
111117815028?2?????2??i2
111111∴总方差=组间方差+组内方差的平均值。原命题得证。
6．某管理局下属8家企业的产品销售数据如下表所示：.试比较其产品销售额和销售利
润的离散程度。
企业 产品销售额(X1) 销售利润(X2) （万元） 1 2 3 4 5 6 170 220 390 430 480 650 8.1 12.5 18.0 22.0 26.5 40.0
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