数字信号处理试卷答案
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一、填空题：（每空1分，共18分）
1、 数字频率?是模拟频率?对采样频率fs的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 2、 双边序列z变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 3、 某序列的
kn，由此可以看出，该序列时域的长度为 DFT表达式为X(k)??x(n)WMn?0N?1N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 2? 。 M8(z2?z?1)4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H(z)?，则系统的极点为
2z2?5z?21z1??,z2??2 ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应h(n)的初值
2h(0)?4；终值h(?) 不存在 。
5、 如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0?n?63)，序列h(n)是一长度为128点
的有限长序列(0?n?127)，记y(n)?x(n)?h(n)（线性卷积），则y(n)为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT的点数至少为 256 点。
6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率?与数字频率?之间的
映射变换关系为???T。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率?
?T2?)。 tan()或??2arctan(2T2与数字频率?之间的映射变换关系为??7、当线性相位
FIR数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h(n)满足的条件为
j?h(n)?h(N?1?n) ，此时对应系统的频率响应H(e为?(?)??N?1?。 2)?H(?)ej?(?)，则其对应的相位函数
8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。
二、判断题（每题2分，共10分）
1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，只要加一道采样的工序就可
以了。 （╳） 2、 已知某离散时间系统为
y(n)?T[x(n)]?x(5n?3)，则该系统为线性时不变系统。(╳)
3、 一个信号序列，如果能做序列的傅里叶变换（DTFT），也就能对其做DFT变换。（╳） 4、 用双线性变换法进行设计IIR数字滤波器时，预畸并不能消除变换中产生的所有频率点的非
线性畸变。 （√） 5、 阻带最小衰耗取决于窗谱主瓣幅度峰值与第一旁瓣幅度峰值之比。 （╳） 三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?x(n)?2x(n?1)
系统初始状态为y(?1)?1，y(?2)?2，系统激励为x(n)?(3)nu(n)， 试求：（1）系统函数H(z)，系统频率响应H(ej?)。
（2）系统的零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)和全响应y(n)。
解：（1）系统函数为H(z)?系统频率响应H(e1?2z?11?3z?1?2z?2?z2?2zz?3z?22
j?e2j??3ej??2解一：（2）对差分方程两端同时作z变换得
)?H(z)z?ej??e2j??2ej?Y(z)?3z?1[Y(z)?y(?1)z]?2z?2[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z2]?X(z)?2z?1X(z)
?X(z)
1?3z?1?2z?21?3z?1?2z?2上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换X(z)?z代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式分别为 z?3即：Y(z)?3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)(1?2z?1)Yzi(z)??1?2z?11?3z?1?2z?2??z2?2zz?3z?22
zz2?2zz Yzs(z)????1?3z?1?2z?2z?3z2?3z?2z?3将Yzi(z),Yzs(z)展开成部分分式之和，得
1?2z?1Yzi(z)z?23?4 ??2??zz?1z?2z?3z?2315Yzs(z)z?2z1?8?2??2??2 zz?3z?2z?3z?1z?2z?32315zz3z?4z?8z22???即 Yzi(z)? Yzs(z)? z?1z?2z?1z?2z?3对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
yzi(k)?[3?4(2)k]?(k)
315yzs(k)?[?8(2)k?(3)k]?(k)
22故系统全响应为
915y(k)?yzi(k)?yzs(k)?[?12(2)k?(3)k]?(k)
22解二、（2）系统特征方程为?2?3??2?0，特征根为：?1?1，?2?2； 故系统零输入响应形式为 yzi(k)?c1?c2(2)k
将初始条件y(?1)?1，y(?2)?2带入上式得
1?y(?1)?c?c()?1zi12??2 解之得 c1?3，c2??4， ?1?y(?2)?c?c()?2zi12?4?故系统零输入响应为： yzi(k)?3?4(2)k k?0 系统零状态响应为
Yzs(z)?H(z)X(z)?21?2z?11?3z?1?2z?2zz2?2zz ??2?z?3z?3z?2z?3315Yzs(z)z?2z1?8?2??2??2 zz?3z?2z?3z?1z?2z?3315zz?8z22??即 Yzs(z)?
z?1z?2z?3315对上式取z反变换，得零状态响应为 yzs(k)?[?8(2)k?(3)k]?(k)
22故系统全响应为
915y(k)?yzi(k)?yzs(k)?[?12(2)k?(3)k]?(k)
22四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取N?4点基2FFT的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列x(n)?(2,1,3,4)（n?0,1,2,3）的DFT。 （3） 试写出利用FFT计算IFFT的步骤。 解：（1）
x(0)x(2)x(1)x(3)Q0(0)Q0(1)?1Q(0)Q1(1)?11X(0)?j?1jX(1)X(2)X(3)r01k0W20W2011W20W2lk010W40W4011W40W42W40W42
4点按时间抽取FFT流图 加权系数 ?Q0(0)?x(0)?x(2)?2?3?5 （2） ?
Q(1)?x(0)?x(2)?2?1??1?0?Q1(0)?x(1)?x(3)?1?4?5 ?Q(1)?x(1)?x(3)?1?4??3?13W40W43
1Q1(1)??1?j?3 X(0)?Q0(0)?Q1(0)?5?5?10 X(1)?Q0(1)?W4X(2)?Q0(0)?W42Q1(0)?5?5?0 X(3)?Q0(1)?W43Q1(1)??1?3j
即： X(k)?(10,?1?3j,0,?1?3j),k?0,1,2,3 （3）1）对X(k)取共轭，得X?(k)； 2）对X?(k)做N点FFT； 3）对2）中结果取共轭并除以N。
五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
Ha(s)?1
s2?1.414s?1试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为?c?0.5?rad，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T解：（1）预畸
?c??1）
?220.5?arctan(c)?arctan()?2 T2T21ss()2?1.414()?1224s2?2.828s?4 （2）反归一划
H(s)?Ha(s)s?s?c??
（3） 双线性变换得数字滤波器
H(z)?H(s)s?21?z?1?T1?z?14s2?2.828s?4s?21?z?11?z?1?(2
41?z?11?z2)?2.828?2?11?z?11?z?1
?413.656?2.344z（4）用正准型结构实现
x(n)?4(1?2z?1?z?2)?2?0.2929(1?2z?1?z?2)1?0.1716z1z?1?210.2929y(n)21z?1?0.1716
六、（12分）设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)如图1所示：
h(n)21?134120n
?2
图1
试求：（1）该系统的频率响应H(e（2）如果记H(ej?j?)；
)?H(?)ej?(?)，其中，H(?)为幅度函数（可以取负值），?(?)为
相位函数，试求H(?)与?(?)；
（3）判断该线性相位FIR系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、带阻），
说明你的判断依据。
（4）画出该FIR系统的线性相位型网络结构流图。 解：（1）h(n)?(2,1,0,?1,?2)
H(ej?)??h(n)en?04?j?n?h(0)?h(1)e?j??h(2)e?j2??h(3)e?j3??h(4)e?j4?
?2?e?j??e?j3??2e?j4??2(1?e?j4?)?(e?j??e?j3?)
?2e?j2?(e?j2??ej2?)?e?j2?(ej??e?j?)?e?j2?[4jsin(2?)?2jsin(?)]
（2）H(ej?)?e?j2?ej?2[4sin(2?)?2sin(?)]?j(?2?)e2[4sin(2?)??2sin(?)]
H(?)?4sin(2?)?2sin(?)， ?(?)??2?2?
（3）H(2???)?4sin[2(2???)]?2sin(2???)??4sin(2?)?2sin(?)??H(?) 故 当??0时，有H(2?)??H(0)?H(0)，即H(?)关于0点奇对称，H(0)?0；
当???时，有H(?)??H(?))，即H(?)关于?点奇对称，H(?)?0 上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。 （4）线性相位结构流图
x(n)z?1z?1z?1h(0)h(1)z?1h(2)y(n)
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