在台阶顶端F处测得标语牌顶点A的仰角为45°,标语牌底端B的仰角为3 °,如图,已知台阶高EF为3米,山坡坡面BC的长为25米,山坡BC的坡度为1∶0.75,求标语牌AB的高度.(结果精确到0.1米,参考数据sin 3 °≈0.53,cos 3 °≈0. 5,tan 3 °≈0.62)
参考答案
学习过程 一、复习旧知
1.答:解直角三角形常用的关系有3个:
222
(1)三边之间关系:a+b=c(勾股定理); (2)两锐角之间关系:∠A+∠B=90°;
(3)边角之间关系:sin A=,cos A=,tan A=. 2.答:以正北、正南方向为基准,描述物体位置的角. 二、探究应用解直角三角形解决方位角问题 解:在Rt△APC中,
PC=PA·cos(90°-65°) =80·cos 5°≈72.505. 在Rt△BPC中,∠B=34°,
∵sin B=, ∴PB=sin sin34°
7 505
7 5050 559
≈130(n mile).
因此,当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处时,它距离灯塔P大约130 n mile.
三、探究应用解直角三角形解决坡度、坡角问题
解:(1)由已知得tan α= 5 3,∴α≈33.69°,tan β=3,∴β≈18.43°. (2)在Rt△ABF中,∵sin α=,∴AB= 6
6sin
6
0 55
≈10.9(m).
四、反思小结
1.以正北、正南方向为基准,描述物体位置的角. 斜坡的铅直高度与水平宽度的比. 斜坡的坡面与水平面的夹角.
2.答:(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 五、尝试应用
5
1.解:只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心,以8海里的圆内或圆上即可, 如图,过A作AC⊥BD于点C,则AC的长是A到BD的最短距离, ∵∠CAD=30°,∠CAB=60°,
∴∠BAD=60°-30°=30°,∠ABD=90°-60°=30°, ∴∠ABD=∠BAD, ∴BD=AD=12海里,
∵∠CAD=30°,∠ACD=90°,
∴CD= AD=6海里,
由勾股定理得:AC= -6 =6 3≈10.392>8, 即渔船继续向正东方向行驶,没有触礁的危险. 2.解:(1)∵渠道内坡度为1∶1.5, ∴BE∶AE=1∶1.5, ∵BE=0.6米, ∴AE=0.9米,
∴AD=AE+EF+FD=2×AE+BC=2×0.9+0.5=2.3(米),
∴截面ABCD的面积为 (AD+BC)×BE= ×(2.3+0.5)×0.6=0.84(平方米);
(2)修一条长为100 m的这种渠道要挖去的土方数为100×0.84=84(立方米).
评价作业
1.A 2.A 3.D 4.D
5.26 6.17 7.(100 +300) m
8.解:如图所示,过C作CD⊥AB,垂足为D,过C作CE⊥AC,交AB于E.在Rt△ACD中,∠
DAC=45°,AC=20×1.5=30,∴CD=ACsin 45°=30× =15 ,在Rt△BCD中,∠BCD=∠BCE+∠ECD=45°+ 5°=60°,∴BC=cos60°=30 (海里).答:此时船与灯塔相距30 海里.
6
9.解:∵斜坡AB的坡比i=1∶2,∴AE∶BE=1∶2.又AE=6 m,∴BE=12 m,∴AB= 6 =6 5(m),作DF⊥BC于F(如图所示),则得矩形AEFD,有DF=AE=6 m,∵∠C=60°,∴CD=sin60°=4 3(m).答:斜坡AB,CD的长分别是6 5 m,4 3 m.
10.解:(1)∠BAO=45°,∠ABO= 5°.
(2)能.过点O作OC⊥AB于点C,如图所示,则△AOC与△BOC都是直角三角形,由(1)得∠BAO=45°,∠ABO= 5°,∴△AOC是等腰直角三角形,∴AC=OC.在Rt△AOC中,AC=OAcos 45°=8×=4 ≈5.64,∴OC=AC≈5.64,在Rt△BOC中,BC=
tan∠
5 64
tan 5°
≈20.89.∴AB=AC+BC≈5.64+20.89=26.53(海里).∵中国渔政船的速度是每小时28海里,∴中国渔政船能在1小时内赶到.
11.解:延长AB交ED的延长线于点G,过点F作FH垂直于AB的延长线于点H, 即∠AHF=90°,∠AGE=90°,
∵山坡坡面BC的长为25米,山坡BC的坡度为1∶0.75,
∴ 0 75,BG2+CG2=BC2.
∴BG=20. ∵EF=HG=3, ∴BH=BG-HG=17.
∵∠AFH=45°,∠BFH=3 °,tan 3 °≈0.62, ∴AH=FH,≈0.62.
∴AH=FH≈0 6 ≈27.42,
∴AB=AH-BH≈27.42-17≈10.4(米). 答:标语牌AB的高度为10.4米.
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