离散数学网络课程形成性考核第4次形考任务

★ 形成性考核作业 ★

四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

证明：设G??V,E?，G??V,E??．则E?是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结点u?V，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n?1 (?2)度），于是若u?V在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

k条边才能2使其成为欧拉图．

证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．

故最少要加

k条边到图G才能使其成为欧拉图． 2 6