南京邮电大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：计数原理

南京邮电大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：计数原理

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作，每班派一名，要求这3位实习教师中男女都要有，则不同的选派方案共有( ) A．210 【答案】B

2．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( ) A．12 【答案】B

3．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( )

A. 12种 B.18种 C. 36种 D. 48种 【答案】B

4．某旅游公司带领游客参观世博园中的A、B、C、D、E五个场馆中的四个，其中A场馆必须参观且第一个参观，C场馆如果参观，则不能在最后一个参观，那么不同的参观顺序有( ) A．48种 【答案】D

5．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标有1，2??9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )种

B．36种

C．24种

D．18种

B．24

C．36

D．48

B．420

C．630

D．840

[来源:学科网ZXXK]

A．18 【答案】D

6．5名学生A、B、C、D、E和2位老师甲、乙站成一排合影，其中A、B、C要站在一起，且甲、乙不相邻的排法种数为( ) A．432 【答案】A

7．在(x?1)(x?1)的展开式中x的系数是( )

A．?14 【答案】B

8．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( )A．80种 【答案】B

[来源:学,科,网]B．36 C．72 D．108

B．216 C．144 D．72

85B．14 C．?28 D．28

C．120种

D．240种

B．100种

9．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是( )

A． 24 【答案】D

10的展开式中的第6项是( ) (x?1)10．

B．28 C．32 D．36

A． C10x C． ?C10x 【答案】C

5566

B． ?C10x D． C10x

556611．用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为( ) A．18 【答案】D 12．已知

B．108

C．216

D．432

(x?2)9?a0?a1x?a2x2???a9x9，则

的值为( )

D．3

12(a1?3a3?5a5?7a7?9a9)2?(2a2?4a4?6a6?8a8)2A．3 【答案】D

9B．3

10C．3

11第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(1?2x)的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为____________ 【答案】16x

14．某小组有3名女生、4名男生，从中选出3名代表，要求至少女生与男生各有一名，共有____________种不同的选法.(要求用数字作答) 【答案】30 15．在【答案】15

[来源:Z|xx|k.Com]n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 。

2

6

16．若(1＋mx)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a6x，且a1＋a2＋?＋a6＝63，则实数m的值为____________． 【答案】1或-3

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．求二项式(3x－

6

2x)的展开式中：

15

(1）常数项；（2）有几个有理项；（3）有几个整式项． 【答案】展开式的通项为：Tr+1=

(?1)C(x)rr31515?r(2) =(?1)2Cxxrrrr1530?5r6

(1)设Tr+1项为常数项，则

630?5r6C=0，得r=6，即常数项为T7=215；

6

(2)设Tr+1项为有理项，则

530?5r=5-r为整数，∴r为6的倍数，

66又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三个数，故共有3个有理项． (3) 5-

5r为非负整数，得r=0或6，∴有两个整式项． 618．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？

(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？

(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？

【答案】 (1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A4＝24(种)．

5

(2)∵总的排法数为A5＝120(种)，

15

∴甲在乙的右边的排法数为A5＝60(种)．

2

(3)法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；

2

若分配到2所学校有C7×2＝42(种)；

3

若分配到3所学校有C7＝35(种)． ∴共有7＋42＋35＝84(种)方法．

6

法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C9＝84种不同方法．

所以名额分配的方法共有84种． 19．（1）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是多少？

[来源:Zxxk.Com]3

(2)求(1?x)(1?4x)3的展开式中含 x2的项的系数.

【答案】（1）先选一个偶数字排个位，有3种选法

①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A3A2＝24个 ②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A2A2＝12个 算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个

13??(2)(1?x)(1?x)??1?4x?6x?4x?x??1?3x2?3x?x2?

??

432342222x2的系数是 -12+6=-6

20．现有4个同学去看电影，他们坐在了同一排，且一排有6个座位．问：（1）所有可能的坐

法有多少种？

(2）此4人中甲，乙两人相邻的坐法有多少种？

(3）所有空位不相邻的坐法有多少种？（结果均用数字作答） 【答案】 (1)21．已知

234A64?360 (2)A2?A5?120 (3)A4?C52?240

fn(x)?(1?x)n，n∈N*.

2(1) 若g(x)?f4(x)?2f5(x)?3f6(x)，求g(x)中含x项的系数；

(2) 若pn是fn(x)展开式中所有无理项的系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数

列，试用数学归纳法证明：pn(a1a2?an?1)≥(1＋a1)(1＋a2)?(1＋an)． 【答案】(1) g(x)中含x项的系数为C4＋2C5＋3C6＝1＋10＋45＝56. (2) 证明：由题意，pn＝2

n－12

4

4

4

.

① 当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；

② 假设当n＝k时，pk(a1a2?ak＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)?(1＋ak)成立， 当n＝k＋1时，

(1＋a1)(1＋a2)?(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2＝2

k－1

k－1

(a1a2?ak＋1)(1＋ak＋1)

(a1a2?akak＋1＋a1a2?ak＋ak＋1＋1)．(*)

k

∵ ak＞1，a1a2?ak(ak＋1－1)≥ak＋1－1，即a1a2?akak＋1＋1≥a1a2?ak＋ak＋1， 代入(*)式得(1＋a1)(1＋a2)?(1＋ak)(1＋ak＋1)≤2(a1a2?akak＋1＋1)成立．

综合①②可知，pn（a1a2?an＋1）≥（1＋a1）（1＋a2）?（1＋an）对任意n∈N成立． 22．（1）比5000小且没有重复数字的自然数有多少个？

[来源:学科网]*

(2）由1到9这9个数字中每次选出5个数字组成无重复数字的5位数， ①其中奇数位置上的数字只能是奇数，，问有多少个这样的5位数？ ②其中奇数只能在奇数位置上，问又有多少个这样的5位数? 【答案】（1）2755；（2）1800；2520.