2018年成都石室中学自主招生考试数学试卷（真题）

2018年成都石室中学自主招生考试数学试卷(真题)

一、选择题：（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）

1、石室中学正筹划建校 2160 周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为 2160 的正方形“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（ ）

A.11.5 到 12.5 之间 B.12.5 到 13.5 之间 C.13.5 到 14.5 之间 D.14.5 到 15.5 之间

2、将正多边形 ABCDEF 放入直角坐标系中，顶点 B，D，E 的坐标分别为（n，m），（-n，m），（a，b），则点A 的坐标可以为（ ）

A.（-m，-n） B.（m，-n） C.（-a，b） D.（-b，-a） 3、有的含二次根式的式子可以运用完全平方公式写成另外一个二次根式的平分， 如3+22=12+（2）2+22=（1+2）2，则式子11?47（ ） A.被开方数小于 0，无意义 B.有意义，化简后为7-2 C.有意义，但这个式子不能类比题目中的例子化简 D.有意义，化简后为2-7 4、如图，求边长 AB=2,BC=1 的矩形ABCD沿CD折叠后与圆心角为 90°的扇形重合部分的面积为（ ） A.

?3?33ππ B. 1? C. D.+1 22235、将以 B 为圆心，a 为半径，圆心角为 的扇形 ABC 的弧 AC 保持长度不变，拉直后与 AB，BC 构成等腰三角形 ABC，则△ABC 的面积与扇形 ABC 面积比较（ ） A.不发生改变，S△ABC=

12902

πa B.发生改变，S△ABC=a 2?32a 4C.不发生改变，S△ABC= πa2 D.发生改变，?2x?y?5?6、已知关于 x，y 的方程组?nx?3y?b?2有无数多组解，则在待定系数 b，?mx?2y?k?1?k，n，m 表示的 4 个数中任意取两数相乘，其乘积的最小值为（ ） A.12 B.16 C.20 D.24

7、大小完全相同两等腰三角形如图放置，其中∠B=∠E=90°，AB=BC=DE=EF，DE 与 AC 交于 AC 中点 N，DF 过点 C，BD=6，求点 D 到直线 BC 的距离为（ ）

1

A.

11121110 B. C.33 D.

277210.其中正确的结论有（ ） 558、如图所示，已知关于 x 的二次函数y=ax2+bx+c 图像经过（-1，0），下列结论： ①abc>0；②9a+3b+c<0；③4ac-b2<-4a；④-

A.①②④ B.①②⑤ C.①③④ D.③④⑤

9、如图，直线y1=ax+2 与y2=bx+4 交于点 N（1，a+2），将直线 向下平移后得到y3=ax-5，求能使得y3

A.1,2,3 B.2,3 C.2,3,4 D.3,4,5

10、如图，已知☉O 上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD=AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠A=30°，NQ=3，则DQ的长为（ ） A.

57 B.5 C.6 D. 22二、填空题：（本题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分） 11、方程4x3-9x=0的解为 。

12、在△ABC 中，AB=8，BC=6，AC 边上的高 BD=4，E,F 分别为线段 AB，BC 中点，连接 EF，则 EF 的长为 。

13、如图，A,B,C 为同一直线上的顺次三点，DA⊥AC 于点 A，EC⊥AC 于点 C，DB⊥BE 于点 B，EC+EB=AC=10.则△ABD 的周长为 。

14、已知将(x+y)n展开，按x降幂排列后的多项式各项系数可以如图对应。如:(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3，各项系数分别为 1，3，3，1，则(x+

32021

)的系数为 。 x2

2

15、矩形 ABCD 的相邻两边长 AB=7,BC=10，在同一平面内，以顶点A 为圆心，以 5 为半径作⊙A，在 BC边上取一点 E，使得 BE=2，以点E为圆心，r 为半径作圆⊙E，求使⊙E 与⊙A 有公共点，且点 B 在⊙E 内，点 D 在⊙E 外的 r 的取值范围 。

16、要研究使 x，y 满足 x+1-y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y=x+1的图像解决。如图，阴影部分

?x?y?0?为满足x+1-y≥0的区域，若x，y 满足条件?x?y?2?0，令M=2x-5y，则M的取值范围为 。

?y?0?

17、（每空 3 分）如图 Rt△ABC中，点C为直角顶点，∠CAB=30°，BC=3，将△ABC 沿直角边AC 翻折后得到△ADC，将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A’D’C’（旋转后两三角形不重合），直线DD’与直线AA’交于点P，连接BP。求在旋转过程中线段BP的最大值为 ，最小值为 。

三、解答题（共 58 分，请将解题过程及结论写在答题卡的相应位置） 18、（6 分）已知关于 x 的方程4x2+4(k-1)x+k2有两个实根为x1,x2。

（1）若x1,x2都是正根，求 k 的取值范围；（2）求当x12,x22=12时，k 的值。

3

19、(10 分)地震是人类一直研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震破坏性，石室中学创新基地班同学做了如下模拟监测实验。如图为地面(AB)以下至地震波反射面(MN)的横截面示意图。其中，O为震源，A为震中，B 为观测站，OA⊥AB，AB∥MN。从0会同时发出两种地震波：直达波(路径为 OB)和反射波(路径为 OCB),它们的传播速度相同.已知震源深度h=14km,震中至观测站距离 AB=48km。(1)求直达波传播的距离OB；(2)已知反射波(路径0CB)满足∠OCM=∠BCN，地震波的传播速度为 5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H.

20、(10 分)学完正弦、余弦、正切的定义后，同学们对有一个锐角为 60°的三角形的边角关系进行了进一步研究。若三角形三个内角分别为ɑ=60°，β和γ ，将ɑ所对的边与β 所对的边之比定义为Rzcβ，将ɑ所对的边与γ 所对的边之比定义为Rymβ，称Rzcβ与Rymβ互为β的“姐弟”函数，已知△ABC 中，∠C=60°。 (1)若∠A=75°，分别求RzcA和RymA的值；(2)若 RzcA=3，求∠A的度数；(3)若AC2+BC2=4AB2-2AC·BC，探究RzcA与RymA的数量关系。

4