(Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为:
613E(X)=?i?P(X?i)?.
3i?4【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
13. 3
12. 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率,考查运用
概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时发生的概率公式.
解:设Ak,Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中,则
11P?Ak??,P?Bk??, k??1,2,3?
32(1)记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,P?C??P?A1??PA1B1A2?PA1B1A2B2A3
?????P?A1??PA1PB1P?A2??PA1PB1PA2PB2P?A3?
????2????????1211?2??1?1??????????? 3323?3??2?311113 ????392727(2)?的所有可能为:1,2,3
由独立性知:P???1??P?A1??PA1B1?2??1212??? 332322211?2??1?2P???2??PA1B1A2?PA1B1A2B2?????????
323?3??2?9?????2?2??1?1P???3??PA1B1A2B2??????
?3??2?9?2综上知,?有分布列
? P 1 2 3 2 322113从而,E??1??2??3??(次)
39991-P(C)=1-
2 91 913. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么
1491P= ,解得P=4 分 10505
131 ）?101000127112P(?=1)=C （）（1?）?3101010001224321P(?=2)=C（ ）（1?）?31010100013729310P(?=3)=C（ ）（1?）?310101000(2)由题意,P(?=0)=C（30所以,随机变量?的概率分布列为:
? P 0 1 2 3 1 100027 1000243 1000729 1000
故随机变量X的数学期望为: E?=00?12724372927 . ?1??2??3??100010001000100010[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、
数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 14.解析:设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:
Y P
1 0.1
2 0.4
3 0.3
4 0.1
5 0.1
(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以P(A)?P(Y?1)P(Y?3)?P(Y?3)P(Y?1)?P(Y?2)P(Y?2)
?0.1?0.3?0.3?0.1?0.4?0.4?0.22
(2)解法一 X所有可能的取值为0,1,2
X?0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以P(X?0)?P(Y?2)?0.5
X?1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时
间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以P(X?1)?P(Y?1)P(Y?1)?P(Y?2)
?0.1?0.9?0.4?0.49
X?2对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,
所以P(X?2)?P(Y?1)P(Y?1)?0.1?0.1?0.01
所以X的分布列为
X
0 1 0.49
2 0.01
0.5 P
EX?0?0.5?1?0.49?2?0.01?0.51 解法二 X所有可能的取值为0,1,2
X?0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,
所以P(X?0)?P(Y?2)?0.5
X?2对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,
所以P(X?2)?P(Y?1)P(Y?1)?0.1?0.1?0.01
P(X?1)?1?P(X?0)?P(X?2)?0.49
所以X的分布列为
X
0 1 2 0.01
0.5 0.49 P
EX?0?0.5?1?0.49?2?0.01?0.51
3121112715.解析:(Ⅰ)P??()??C2???;
4343336(Ⅱ)X?0,1,2,3,4,5
P(X?0)?112131111121?()?.P(X?1)??()2?,P(X?2)?C2??, 43364312433931121121321P(X?3)?C2??,P(X?4)??()2?,P(X?5)??()2?
43334394330 1 2 3 4 5 X P 1111 933612111111415EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=?3.
93931236121216. 【答案及解析】
1 91 3(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列联表如下:
由2×2列联表中数据代入公式计算,得:
因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.
(II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为
1,由题意, 4,从而X的分布列为:
【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、离散型随机变量的分布列,期望E(X)和方差D(X),考查分析解决问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键. 17. . 【解析】
3解:(1)从6个点中随机地选取3个点共有C6?20种选法,选取的3个点与原点O在同13一个平面上的选法有C3C4?12种,因此V=0的概率P(V?0)?123? 205(2)V的所有可能值为0,,,,V
0
P
由V的分布列可得: EV=0?1124,因此V的分布列为
633311246333
120
320
320
1203111323419????????? 562032032032040【点评】本题考查组合数,随机变量的概率,离散型随机变量的分布列、期望等. 高考中,
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