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例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有
C210?10?91?2?45（条）.
(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
A210?10?9?90（条）.
例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
C3100?100?99?981?2?3= 161700 （种）.
1 (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C2种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有CC2?C1298种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有
298=9506(种).
(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件
1次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有C2?C298种，因此根据分类
加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有
C2?C12982+C2?C198=9 604 （种） .
解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即
C100?C3398=161 700-152 096 = 9 604 （种）.
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选； 例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？
222解：C6?C4?C2?90．
（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？
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解：问题可以分成2类：
第一类 2名男生和2名女生参加，有C52C42?60中选法；
1第二类 3名男生和1名女生参加，有C53C4?40中选法 依据分类计数原理，共有100种选法 11错解：C52C4C6?240种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多 例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？
1解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C43，C42?C6，
C4?C6，
112?C6＝100种方法． 所以，一共有C43+C42?C6+C41233?C6?100 解法二：（间接法）C10mn?m组合数的性质1：Cn?Cn．
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n?m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个．．．．
不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：
Cn?Cnmn?m．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵Cnn?m?又 Cnm?n!n!(n?m)![n?(n?m)]!?n!m!(n?m)!
m!(n?m)!，∴Cn?Cnmn?m 0说明：①规定：Cn?1；
②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当m?例如C2002＝C200220012002?20011n2时，计算Cn可变为计算Cnmn?m，能够使运算简化.
＝C2002=2002；
xy ④Cn?Cn?x?y或x?y?n．
2．组合数的性质2：Cn?1＝Cn+Cnmmm?1．
m一般地，从a1,a2,?,an?1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn?1，这些组
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合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,?,an?1这n个元素中取出m ?1个元素与a1组成的，共有Cnm?1个；不含有a1的组合是从a2,a3,?,an?1这
n个元素中取出m个元素组成的，共有Cnm个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个
性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明：Cnm?Cnm?1?n!m!(n?m)!?n!(m?1)![n?(m?1)]!(n?1)!m!(n?m?1)! ?n!(n?m?1)?n!m
m!(n?m?1)!m ?(n?m?1?m)n!?m!(n?m?1)!?Cn?1
∴Cnm?1＝Cnm+Cnm?1．
说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；
②此性质的作用：恒等变形，简化运算 例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
332323解：（1）C8?56,或C8?C7?C7，；（2）C7?21；（3）C7?35．
3456例12．（1）计算：C7?C7?C8?C9；
（2）求证：Cm?2＝Cm+2Cm+Cmnnn?1n?2．
4565664解：（1）原式?C8?C8?C9?C9?C9?C10?C10?210；
nn?1n?1n?2nn?1n证明：（2）右边?(Cm?Cm)?(Cm?Cm)?Cm?1?Cm?1?Cm?2?左边 例13．解方程：（1）C13x?1?C132x?3；（2）解方程：Cx?2?Cx?2?x?2x?3110Ax?3．
3解：（1）由原方程得x?1?2x?3或x?1?2x?3?13，∴x?4或x?5，
?1?x?1?13?? 又由?1?2x?3?13得2?x?8且x?N，∴原方程的解为x?4或x?5 ???x?N上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x?4和x?5代入检验,这样运算量小得多.
（2）原方程可化为Cx?3?x?2110Ax?3，即Cx?3?35110Ax?3，∴
3(x?3)!5!(x?2)!?(x?3)!10?x!，
∴
1120(x?2)!?110?x(x?1)?(x?2)!，
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∴x2?x?12?0，解得x?4或x??3， 经检验：x?4是原方程的解 例14．证明：Cm?Cn?Cm?Cm?p。
证明：原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的n?p个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组，在余下的m?p个同学中选出n?p个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
m1m?1m0m例15．证明：Cn0Cm。 ?CnCm?…?CnCm?Cm?n（其中n?m）
nppn?p证明：设某班有n个男同学、m个女同学，从中选出m个同学组成兴趣小组，可分为m?1类：男同学0个，1个，?，m个，则女同学分别为m个，m?1个，?，0个，共有
mm1m?1m0?CnCm???CnCm。又由组合定义知选法数为Cm?n，故等式成立。 选法数为Cn0Cm123nn?1?2Cn?3Cn?…?nCn?n2。 例16．证明：Cn123n1112131n证明：左边=Cn?2Cn?3Cn???nCn=C1Cn?C2Cn?C3Cn???CnCn，
其中CiCn可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数。设某班有n个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i分类
2，（i?1，?，n），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决
1i定剩下的n?1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n?1种，所以选法总数为
n2n?1种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
122232nn?2例17．证明：Cn?2Cn?3Cn?…?nCn?n(n?1)2。
2i11i证明：由于iCn?CiCiCn可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个（可
重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有n2种选法。∴共有n2n?1n?1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n?1)2?n(n?1)2n?2n?2+n(n?1)2n?2种选法。显然，两种选法是一致的，故左
边=右边，等式成立。
例18．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？
答案是：8C4?8?4?2?2?64，这题如果作为习题课应如何分析 2育星教育网——中学语文资源站（www.ht88.com）资源，未经授权，禁止用于任何商业目的。
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