第5讲章末热点集训
动量定理的应用
一艘帆船在湖面上顺风航行，在风力的推动下做速度为v0＝4 m/s的匀速直线运动．若该帆船在
运动状态下突然失去风力的作用，则帆船在湖面上做匀减速直线运动，经过t＝8 s才可静止．该帆船的帆面正对风的有效面积为S＝10 m，帆船的总质量约为M＝936 kg.若帆船在航行过程中受到的阻力恒定不变，空气的密度为ρ＝1.3 kg/m，在匀速行驶状态下估算：
(1)帆船受到风的推力F的大小； (2)风速的大小v.
[解析] (1)风突然停止，帆船只受到阻力f的作用，做匀减速直线运动，设帆船的加速度为a，则
3
2
a＝
0－v02
＝－0.5 m/s
t根据牛顿第二定律有－f＝Ma，所以f＝468 N 则帆船匀速运动时，有F－f＝0，解得F＝468 N. (2)设在时间t内，正对着吹向帆面的空气的质量为m， 根据动量定理有－Ft＝m(v0－v) 又m＝ρS(v－v0)t 所以Ft＝ρS(v－v0)t 解得v＝10 m/s.
[答案] (1)468 N (2)10 m/s
1.皮球从某高度落到水平地板上，每弹跳一次上升的高度总等于前一次的0.64倍，且每
次球与地板接触的时间相等．若空气阻力不计，与地板碰撞时，皮球重力可忽略．
(1)求相邻两次球与地板碰撞的平均冲力大小之比是多少？
(2)若用手拍这个球，使其保持在0.8 m的高度上下跳动，则每次应给球施加的冲量为多少？(已知球的质量m＝0.5 kg，g取10 m/s)
解析：(1)由题意可知，碰撞后的速度是碰撞前的0.8倍．设皮球所处的初始高度为H，与地板第一次碰撞前瞬时速度大小为v0＝2gH，第一次碰撞后瞬时速度大小(亦为第二次碰撞前瞬时速度大小)v1和第二次碰撞后瞬时速度大小v2满足v2＝0.8v1＝0.8v0.设两次碰撞中地板对球的平均冲力分别为F1、F2，取竖直向上为正方向．根据动量定理，有F1t＝mv1－(－mv0)＝1.8mv0，F2t＝mv2－(－mv1)＝1.8mv1＝1.44mv0，则F1∶F2＝5∶4.
0.8(2)欲使球跳起0.8 m，应使球由静止下落的高度为h＝m＝1.25 m，球由1.25 m落到0.8 m处的速度
0.64为v＝3 m/s，则应在0.8 m处给球的冲量为I＝mv＝1.5 N·s，方向竖直向下．
答案：见解析
动量守恒定律的应用
在光滑的水平面上，有a、b两球，
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22
1
其质量分别为ma、mb，两球在t0时刻发生正碰，并且在碰撞过程中无机械能损失，两球在碰撞前后的速度图象如图所示，下列关系正确的是( )
A．ma＞mb C．ma＝mb
B．ma＜mb D．无法判断
[解析] 由题图可知b球碰前静止，取a球碰前速度方向为正方向，设a球碰前速度为v0，碰后速度为
v1，b球碰后速度为v2，两球碰撞过程中动量守恒，机械能守恒，则
mav0＝mav1＋mbv2
121212mav0＝mav1＋mbv2 222联立①②得：v1＝
① ②
ma－mb2mav0，v2＝v0 ma＋mbma＋mb由a球碰撞前后速度方向相反，可知v1＜0，即ma＜mb， 故B正确． [答案] B
2.如图所示，一辆质量为M＝3 kg的小车A静止在光滑的水平面上，小车上有一质量为m＝1 kg的光滑小球B，将一轻质弹簧压缩并锁定，此时弹簧的弹性势能为Ep＝6 J，小球与小车右壁距离为L，解除锁定，小球脱离弹簧后与小车右壁的油灰阻挡层碰撞并被粘住，求：
(1)小球脱离弹簧时小球和小车各自的速度大小； (2)在整个过程中，小车移动的距离．
解析：(1)设小球脱离弹簧时小球和小车各自的速度大小分别为v1、v2，则mv1－Mv2＝0 1212
mv1＋Mv2＝Ep 22
解得：v1＝3 m/s，v2＝1 m/s.
(2)设小车移动x2距离，小球移动x1距离，整个过程中，根据平均动量守恒(人船模型)得m＝M
x1
tx2tx1＋x2＝L
解得：x2＝.
4
答案：(1)3 m/s 1 m/s (2)
4
动量和能量的综合问题
LL
如图所示，光滑水平面上，一半圆形槽B中间放一光滑小球A(可看成质点)，A、B质量均为2 kg.A、B共同以v0＝6 m/s的速度向右运动，质量为4 kg的物体C静止在前方．B与C碰撞后粘合在一起运动，求：
2
(1)B、C碰撞后瞬间的速度大小；
(2)在以后的运动过程中，A速度等于零时重力势能的增加量． [解析] (1)设B、C碰撞后瞬间的速度为v1，根据水平方向动量守恒有
mBv0＝(mB＋mC)v1
解得v1＝2 m/s.
(2)设当A的速度为零时，B、C整体的速度为vBC，根据动量守恒定律有mAv0＋mBv0＝(mB＋mC)vBC 解得vBC＝4 m/s 重力势能的增加量
121122
ΔEp＝mAv0＋(mB＋mC)v1－(mB＋mC)vBC
222解得ΔEp＝0
即当A的速度为零时，A处于B中最低点，重力势能增加量为零． [答案] (1)2 m/s (2)0
3.(高考北京卷)如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块
A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点．现将A无初速释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面
滑动．已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2 m；A和B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.取重力加速度g＝10 m/s.求：
2
(1)碰撞前瞬间A的速率v；
(2)碰撞后瞬间A和B整体的速率v′； (3)A和B整体在桌面上滑动的距离l. 解析：设滑块的质量为m. 12
(1)根据机械能守恒定律mgR＝mv
2得碰撞前瞬间A的速率v＝2gR＝2 m/s. (2)根据动量守恒定律mv＝2mv′
1
得碰撞后瞬间A和B整体的速率v′＝v＝1 m/s.
212
(3)根据动能定理(2m)v′＝μ(2m)gl
2
v′2
得A和B整体沿水平桌面滑动的距离l＝＝0.25 m.
2μg答案：(1)2 m/s (2)1 m/s (3)0.25 m
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