专项强化训练(三) 数列的综合应用
一、选择题
1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是( ) A.a2>b2 B.a3
由题可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2,故选A.
【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是 【解析】由等差数列与等比数列的性质得所以==2++.
当x,y同号时,+≥2;当x,y异号时,+≤-2.
所以的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).
答案:(-∞,0]∪[4,+∞)
2.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于( ) A.24 B.32 C.48 D.64 【解析】选D.依题意有anan+1=2n,
所以an+1an+2=2n+1.两式相除得=2,
所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列. 而a1=1,a2=2,
所以a10=2·24=32,a11=1·25=32. 又因为an+an+1=bn, 所以b10=a10+a11=64.
3.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
【解析】选C.因为{an}是等差数列,
所以Sn=n2+n. 因为S5
所以Sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5, 所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值, S9 . - 1 - 4.(2015·北京模拟)已知函数f(x)= 排列成一个数列,则该数列的通项公式为( ) 把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序 A.an=,n∈N* B.an=n(n-1),n∈N* C.an=n-1,n∈N* D.an=2n-2,n∈N* 【解析】选C.当x≤0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x>0时,若x=n,n∈N*,则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n; 若x不是整数, 则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分, 由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1 所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项an=n-1,故选C. 【加固训练】定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足:an=ak(k∈N*)成立,则ak的值为( ) A. B.2 C.1 D.4 (n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ 【解析】选A.an=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3 时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,an+1>an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为. 5.甲、乙两间工厂的月产值在2012年1月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小,则有( ) A.甲的产值小于乙的产值 B.甲的产值等于乙的产值 C.甲的产值大于乙的产值 D.不能确定 【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列, 数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=≥===b6,由于在等差数列 {an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值. 【方法技巧】建模解数列问题 (1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系. (2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题. (3)通过建立的关系求出相关量. 【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需 - 2 - 将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A.1和20 B.9和10 C.9和11 D.10和11 【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示) 则各个树坑到第i个树坑的距离的和是 S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i)=10所以当i=10或11时,S有最小值. 二、填空题 + =10(i2-21i+210). 6.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列的前n项和是 . 【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,导数为y′=nxn-1-(n+1)xn,所以曲线在x=2处的切线斜率为k=n×2n-1-(n+1)×2n=-(n+2)2n-1,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以 =2n,数列 是以2为首项,2为公比的等比数列,所以其前n项和 Sn==2n+1-2. 答案:2n+1-2 7.(2015·昆明模拟)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0 把c=a+x(b-a)代入上式,得x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2. 因为b>a,b-a≠0, 所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=. 因为0 答案: 8.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: ,,,,,,,,,,…,,,…, ,…,有如下运算和结论: ①a24=; ②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列; ③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn= ; - 3 - ④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=. 其中正确的结论有 .(将你认为正确的结论的序号都填上) 【解析】依题意,将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于对于①,注意到21=因此①正确. <24< =, =28,因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=, 对于②③,设bn为②③中的数列的通项,则bn=前n项和等于× = ,因此②不正确,③正确. =,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其 对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于=10,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即 ak=,因此④正确. 综上所述,其中正确的结论有①③④. 答案:①③④ 三、解答题 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=,an+1=an. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=n(2-Sn),n∈N*,若集合M={n|bn≥λ,n∈N*}恰有4个元素,求实数λ的取值范围. 【解析】(1)方法一:由已知可得所以数列其首项为 =× ,其中n∈N*, 是公比为的等比数列. =, 所以即an= =. , 方法二:由已知可得所以 =×, =×, =×, =× . =×,…, 以上各式累乘可得=×n. 又a1=,所以an= . - 4 - (2)由(1)知,Sn=+++…+ , Sn= + +…++ , 所以Sn=+++…+- , 所以Sn=1-. 所以Sn=2-. 因此,bn= , 所以bn+1-bn=-=. 所以当n=1时,b2-b1>0,即b2>b1, 当n≥2时,bn+1-bn<0,即bn+1 又b1=,b2=2,b3=,b4=,b5=. 要使集合M={n|bn≥λ,n∈N*}恰有4个元素, 须 <λ≤. 所以,所求实数λ的取值范围是 <λ≤. 10.(2015·昆明模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=,且满足2Sn+1=4Sn+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式. (2)若bn=-3+log2an(n∈N*),求数列{|bn|}的前n项和Tn. 【解析】(1)因为2Sn+1=4Sn+1(n∈N*),① 所以当n≥2且n∈N*时,2Sn=4Sn-1+1,② ①-②得:an+1=2an, 所以=2(n≥2,n∈N*). 由2S2=4S1+1得2(a1+a2)=4a1+1. 又a1=, 所以a2=1, 所以 =2, 所以数列{an}是以为首项,2为公比的等比数列. 所以an=2n-2. (2)因为bn=-3+log2an=-3+log22n-2=n-5, 所以数列{bn}是首项b1=-4, 公差d=1的等差数列. 所以当n≤5时,bn≤0,当n>5时,bn>0. - 5 -
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