普通高等教育十一五国家级规划教材

6、设向量组

?1??1??1??1??1??0??1???1??2??1??,?4???,????, ?1???,?2???,?3???2??3??a?2??4??b?3????????????3??5??1??a?8??5?试问（1）当a、b为何值时，β能由α1，α2，α3，α4唯一线性表示？ （2）当a、b为何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表示？

（3）当a、b为何值时，β能由α1，α2，α3，α4线性表示，但表示法不唯一，并写出表示式.

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7、已知4阶方阵A=（α1，α2，α3，α4），其中α1，α2，α3，α4均为4维的列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1 = 2α2 - α3， 如果β = α1 + α2 + α4，求线性方程组Ax=β的通解.

?2??3??1???3???7??1??2??0???2???4?8、求向量组?1???,?2???,?3???,?4???,?5???的秩，并求出

?3???2??8??3??0????????????2???3??7??4??3?它的一个极大无关组.

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9、设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn-r，且η*为Ax=b的一个特解，试证ξ1，ξ2，…，ξn-r，η*线性无关.

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第 五 章 作 业

（方阵的特征值、特征向量与相似化简）

1、填空题

（1）A为幂零矩阵(Ak＝O，k为正整数)，则A的特征值 ； （2）设A是n阶方阵，|A|＝5，则方阵 B＝AA*的特征值是 ， 特征向量是 ；

（3）设4阶方阵A相似B，且A的特征值为|B-1-E|= ；

（4）若λ是n阶方阵A的特征方程的单根，则R(A－λE)＝ ； （5）若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a，则2A-1+E的一个特征值为 .

2、选择题

（1） 设三阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝（ ）.

?100??；(B) 0?10(A) ?????000???100??000?；(C) ????00?1???000??010?；(D) ????00?1???000??0?10?. ????001??1111,,,，则2345?100???（2）与矩阵???010?相似的矩阵是（ ）.

??002??

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