小题强化练 小题强化练(一)
一、选择题
a－i
1．i为虚数单位，a∈R.若z＝＋i为实数，则实数a＝( )
a＋iA．－1 C．1
1B．－
2D．2
2．已知集合U＝{x|x2≥2x}，A＝{x|log2x≥2}，则?UA＝( ) A．{x|x≤0或2≤x<4} C．{x|x≤0或1≤x<2}
B．{x|x≤－2或0≤x<4} D．{x|x≤－2或x>4}
3．已知数列{an}为等差数列，若a3＋6＝2a5，则3a6＋a10＝( ) A．18 C．30
B．24 D．32
→→→→→
4.如图，在△ABC中，AD⊥AB，DC＝2BD，|AB|＝2，则AC·AB的值为( )
A．－4 C．－2
B．－3 D．－8
5．已知函数f(x)＝x－sin x，则不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0的解集是( ) A．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－1，4)
1
6．函数y＝－ln(x＋1)的图象大致为( )
x
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－4，1)
π
7．若将函数f(x)＝sin?2x＋?的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于y轴对
6??1
x＋2φ?－1图象的一个对称中心的坐标是( ) 称，则当φ最小时，函数g(x)＝cos??2?
π?A.??3，0? π
－，1? C.??3?
π
－，－1? B.??3?π
，－1? D.??3?
8．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，2，a，且长为a的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为( )
A.C.2
122 6
B.D.3 123 6
x2y2
9．已知F为双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，
ab垂足为A，交一条渐近线于点B，O为坐标原点．|OF|＝|FB|，则C的渐近线方程为( )
3A．y＝±x
3C．y＝±3x
B．y＝±2x D．y＝±x
??|ln x|，x>0，
10．已知函数f(x)＝?若存在实数x1，x2，x3，且x1 ?x＋2，x≤0，? 则x1f(x2)的取值范围是( ) A．[－2，0] 2 －，0? C.??3? B．[－1，0] 1 －，0? D.??2? x 11．(多选)函数f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( ) 1＋x21? A．f(x)＝f??x? 1?1C.＝f? f（x）?x? 1?B．－f(x)＝f??x? D．f(－x)＝－f(x) 12.(多选)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆O交于点P.过点P的圆O的切线交x轴于点T，点T的横坐标关于角α的函数记为f(α)，则下列关于函数f(α)的说法错误的是( ) ??π A．f(α)的定义域是?α?α≠2kπ＋，k∈Z? 2??? π B．f(α)的图象的对称中心是?kπ＋，0?，k∈Z 2??C．f(α)的单调递增区间是[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z D．f(α)对定义域内的α均满足f(π＋α)＝f(α) 13．(多选)已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，OA⊥OB，下列四个结论中，所有正确的结论是( ) A．|OA|·|OB|≥2 B．|OA|＋|OB|≥22 C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点 D．O到直线AB的距离小于等于1 二、填空题 x 14．已知f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，f(ex)＝x，则f′(e)的值为________． eππ 15．若α∈?0，?，cos?－α?＝22cos 2α，则sin 2α＝________． 2???4? 16．在三棱锥D-ABC中，DC⊥底面ABC，AD＝6，AB⊥BC，且三棱锥D-ABC的每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为________． 17．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an ＝________，Tn＝________． 小题强化练 小题强化练(一) a－i（a－i）（a－i）a2－1－2aia2－1（a－1）2 1．解析：选C.因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝2＋2a＋i（a＋i）（a－i）a2＋1a＋1a＋1（a－1）2 i，所以由z为实数得2＝0，解得a＝1，故选C. a＋1 2．解析：选A.U＝{x|x2≥2x}＝{x|x≤0或x≥2}，A＝{x|log2x≥2}＝{x|x≥4}，则?UA＝{x|x≤0或2≤x<4}，故选A. 3．解析：选B.法一：设等差数列{an}的公差为d，由a3＋6＝2a5，得a1＋2d＋6＝2(a1＋4d)，整理得a1＋6d＝6，所以3a6＋a10＝3(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝4(a1＋6d)＝4×6＝24，故选B. 法二：由等差数列的性质知a3＋a7＝2a5，结合条件a3＋6＝2a5，得a7＝6，则3a6＋a10＝2a6＋(a6＋a10)＝2a6＋2a8＝4a7＝24. →→→→→→→→→→→4．解析：选D.由AD⊥AB，DC＝2BD，|AB|＝2，得AC·AB＝(AB＋BC)·AB＝(AB＋3BD)·AB→→→→2→→→→→＝|AB|2＋3AB·BD＝|AB|－3|AB|·|BD|cos∠ABD＝|AB|2－3|AB|2＝－2|AB|2＝－2×22＝－8，故选D. 5．解析：选C.由f(x)＝x－sin x，得f(－x)＝－x－sin(－x)＝－(x－sin x)＝－f(x)，所以函数f(x)在定义域上是奇函数．因为f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数f(x)是定义域上单调递增的函数．不等式f(1－x2)＋f(3x＋3)>0可转化为f(1－x2)>－f(3x＋3)＝f(－3x－3)，所以1－x2>－3x－3，即x2－3x－4<0，解得－1 6．解析：选A.当x＝1时，y＝1－ln 2>0，排除C，D； x＋1＋x11 y′＝－2－＝－2，当x>0时，y′<0，函数单调递减，排除B，选A. xx＋1x（x＋1）π 7．解析：选D.将函数f(x)＝sin?2x＋?的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得函数的 6??ππ 解析式为h(x)＝sin?2（x＋φ）＋?＝sin?2x＋2φ＋?.又函数h(x)的图象关于y轴对称，所以 6?6???ππkππ 2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)．又φ>0，则当k＝0时，φ 6226 min＝ 2 π ，此时函数6 ππππ111π g(x)＝cos?x＋2×?－1＝cos?x＋?－1.由x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝2kπ＋ 23236??2?23?π (k∈Z)．当k＝0时，x＝，由选项知A，B，C中的点均不是函数g(x)图象的对称中心，故 3选D. 8.解析：选A.如图，在三棱锥A-BCD中，设AD＝a，BC＝2，AB＝AC＝BD＝CD＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥．易知BD⊥CD，AB⊥AC.将△BCD看作底面，假设平面ABD⊥平面BCD，因为平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AD.在△ACD 中，已知AC＝CD＝1，所以CD⊥AD不成立，即平面ABD不垂直于平面BCD.同理可知平面ACD不垂直于平面BCD.则当平面ABC⊥平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h＝ 211 .△BCD是等腰直角三角形，则S△BCD＝×1×1＝.所以此三棱锥的体积的最大222 1122 值为××＝，故选A. 32212 9.解析：选A.如图，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂b 足为D.双曲线的渐近线方程为y＝±x，则点F(c，0)到渐近线的 a距离d＝ |bc| ＝b，即|FA|＝|FD|＝b，则|OA|＝|OD|＝a.又|OF|a2＋b2＝|FB|，则|AB|＝b＋c.△OFB为等腰三角形，则D为OB的中点， 所以|OB|＝2a.在Rt△OAB中，则|OB|2＝|OA|2＋|AB|2，即4a2＝a2＋(b＋c)2，整理得c2－bc－2b2b33＝0，解得c＝2b.又c2＝a2＋b2，则4b2＝a2＋b2，即＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±a33x，故选A.
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