[成才之路]2020版高中数学 2.3 等比数列（第2课时）练习 新人教B版必修5

第二章 2.3 第2课时

一、选择题

1．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于( ) A．90 B．30 C．70 D．40 [答案] D

[解析] ∵q2＝a6＋a7

a4＋a5

＝2，

∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40. 2．(2020·重庆理，2)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 [答案] D

[解析] 设等比数列的公比为q， ∵a6＝a9

a3a6＝q3，

∴a26＝a3a9，∴a3，a6，a9成等比数列，故选D.

3．等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝( ) A．39 B．310 C．311 D．312 [答案] B

[解析] 由已知，得a5a6＝9， ∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9， ∴a1·a2·…·a10＝95＝310.

4．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a29

a11的值为( ) A．9 B．1 C．2 D．3 [答案] D

[解析]

a3a5a7a9a11＝a51q30＝243，

∴a29＝a1q82a1q6＝5a11a1q10＝243＝3. 5．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(A．2 B．4 C．8 D．16 [答案] C

[解析] ∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0， ∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列， ∴b5＋b9＝2b7＝8.

) a6

6．在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则a16等于( ) 32A.2 B.3 1

C.6 D．6 [答案] A

?a11＝a4·a14＝6?a7·

[解析] ∵?，

?a4＋a14＝5????a4＝3?a4＝2?解得或?. ???a14＝2?a14＝3

a6a43又∵an>an＋1，∴a4＝3，a14＝2.∴a16＝a14＝2. 二、填空题 7．(2020·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． [答案] 4

[解析] 本题考查等比数列的通项及性质．

设公比为q，因为a2＝1，则由a8＝a6＋2a4得q6＝q4＋2q2，q4－q2－2＝0，解得q2＝2，所以a6＝a2q4＝4.在等比数列中an＝am·qn－m. a1＋a3＋a5＋a718．已知等比数列{an}的公比q＝－3，则等于________．

a2＋a4＋a6＋a8[答案] －3 [解析]

a1＋a3＋a5＋a7a1＋a3＋a5＋a7

＝

a2＋a4＋a6＋a8a1q＋a3q＋a5q＋a7q

1

＝q＝－3.

三、解答题

9．已知数列{an}为等比数列．

(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q. [解析] (1)∵a1a2a3＝216，∴a2＝6， ∴a1a3＝36.

又∵a1＋a3＝21－a2＝15，

∴a1、a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12. a2

当a1＝3时，q＝a1＝2，an＝3·2n－1； 11当a1＝12时，q＝2，an＝12·(2)n－1. (2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72， ∴q4＝4，∴q＝±2.

一、选择题

1．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( )

A．210 B．220 C．216 D．215 [答案] B

[解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29， C＝a3a6a9…a30，则A、B、C成等比数列， 公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210， ∴C＝B·210＝220.

2．如果数列{an}是等比数列，那么( ) A．数列{a2n}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lgan}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列 [答案] A

bn＋1a2n＋1an＋1

[解析] 设bn＝a2n，则bn＝a2n＝(an)2＝q2， 2an＋1

∴{bn}成等比数列；2an＝2an＋1－an≠常数； 当an<0时lgan无意义；设cn＝nan， cn＋1n＋1an＋1则cn＝＝nan

n＋1

n

q

≠常数．

3．在等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是( ) A．当q>1时，{an}为递增数列 B．当00成立

D．当n∈N＋时，anan＋2an＋4>0成立 [答案] C

[解析] 如等比数列－1，－2，－4，－8，…，的公比q＝2，而该数列为递减数列，排除A；1111

如等比数列1，2，4，8，…，的公比q＝2，而该数列为递减数列，排除B；如等比数列－1,1，－1,1，－1，…，中a1a3a5<0，排除D，故选C. 4．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( ) A．成等差数列不成等比数列 B．成等比数列不成等差数列 C．成等差数列又成等比数列

D．既不成等差数列又不成等比数列 [答案] A

[解析] 解法一：a＝log23，b＝log26＝log2 3＋1， c＝log2 12＝log2 3＋2. ∴b－a＝c－b.

解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，∴选A. 二、填空题

5．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________. [答案] 16

[解析] ∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27 ＝4a7－a27＝0，

∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4. ∴b6b8＝b27＝16.

6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________． [答案] 3或27

??2a＝3＋b

[解析] 设此三数为3、a、b，则?，

?a－62＝3b????a＝3?a＝15

?解得或?. ?b＝3???b＝27

∴这个未知数为3或27. 三、解答题

7．{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11. [解析] ∵{an}为等比数列， ∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，

∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根． ∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4， 当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20， ∴1＋q4＝5，∴q4＝4.

当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20， 51

∴1＋q4＝4，∴q4＝4.

∴a11＝a3q8＝64或1.

8．设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an. [解析] 由b1＋b2＋b3＝3， 得log2(a1· a2·a3)＝3， ∴a1·a2·a3＝23＝8， ∵a22＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3， 2设等比数列{an}的公比为q，得log2(q)·log2(2q)＝－3. ∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2. 1解得q＝4或4，

∴所求等比数列{an}的通项公式为 an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.

9．(2020·全国大纲理，17)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式． [解析] 设{an}的公差为d. 由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.

又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．

若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意； 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2. 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.