解得，
（2） 与 的夹角为
， 17.（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表： 工人编号年龄 1 2 3 4 5 6 7 8 9
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值x和方差s；
（3）36名工人中年龄在x-s与x+s之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？ 【解析】
（1） 由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年
龄数据为样本。
2工人编号年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 36 44 38 39 33 45 39 38 36 工人编号年龄 19 20 21 22 23 24 25 26 27 27 43 41 37 34 42 37 44 42 工人编号年龄 28 29 30 31 32 33 34 35 36 34 39 43 38 42 53 37 49 39 40 44 40 41 33 40 45 42 43
则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37
（2） 由（1）中的样本年龄数据可得，
x?则有
1?44?40?36?43?36?37?44?43?37??40 9s2?1??44?40?2??40?40?2??36?40?2??43?40?2??36?40?2??37?40?2??44?40?2??43?40?2??37?4?9?100 9 =
43?之间， ，40?（3） 由题意知年龄在?40?之间，即年龄在?37，?99??43?之间的有5人， 由（1）中容量为9的样本中年龄在?37，43?之间的有36?所以在36人中年龄在?37，则所占百分比为
?100100?5， ?20（人）
920?100%?55.56% 3618.（本小题满分14分）
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB＝6， BC=3，点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB， （1）证明：PE⊥FG；
（2）求二面角P-AD-C的正切值； （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值. 【解析】
（1）证明：?PD?PC ??PDC为等腰三角形 ?E为CD边的中点，所以，PE?DC
?平面PDC?平面ABCD，平面PDC?平面ABCD?DC，且
PE?平面PDC
∴PE?平面ABCD
?FG?平面ABCD，?PE?FG （2） 由长方形ABCD知，AD?DC
?平面PDC?平面ABCD，平面PDC?平面ABCD?DC，且
AD?平面ABCD
?AD?平面PDC
?PD?平面PDC，?PD?AD
由DC?AD，PD?AD，且PC?平面PDA，DC?平面CAD ??PDC即为二面角P?AD?C
由长方形ABCD得DC?AB?6，?E为CD边的中点，则DE?1DC?3 2?PD?4，DE?3，PE?DC，?PE?42?32?7
?tan?PDC?PE7? DE37 3 即二面角P?AD?C的正切值为（3） 如图，连结A,C
?AF?2FB，CG?2GB
?BFBG，FG//AC ?ABBC??PAC为直线PA与直线FG所成角. 由长方形ABCD中AB?6，BC?3得
AC?62?32?35
由（2）知AD?PD，?AD?BC?3，PD?4 ?AP?32?42?5 由题意知PC?4
AP2?AC2?PC295?cos?PAC??
2?AP?AC25所以，直线PA与直线FG所成角的余弦值为
19.（本小题满分14分）
设a>1，函数f(x)=(1+x)e-a.
2x95 25
（1）求f(x)的单调区间； （2）证明：f(x)在-?,?()上仅有一个零点；
（3）若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,a)的切线与直线OP
平行（O是坐标原点），证明：m?【解析】 （1）
3a2-1. ef(x)?(1?x2)ex?a?f?(x)=2xex?(1?x2)ex?(1?x)2ex
x?R时，f?(x)?0恒成立?f(x)的单调递增区间为R（2）由（1）可知f(x)在R上为单调递增函数
当x?a时，f(a)=(1+a)e?eaa?a
?a(ea?1)a?1?f(a)?0?f(x)在(??,??)上仅有一个零点（3）令点P为(x0,y0)
曲线y?f(x)在点P处的切线与x轴平行?f?(x0)=(x0?1)2ex0?02?x0=-1,p(-1,-a)e2-a2e?直线OP斜率为kop??a??1e在点M(m,n)处的切线与直线OP平行?f?(m)?(m?1)2em?a?2e
要证明m?3a?22?1,即证(m?1)3?a? ee
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