计量经济学课件第三章 多元线性回归模型及非线性回归模型

二、多元线性回归模型的矩阵表示

多个解释变量的多元线性回归模型的n组样本观测值，可 表示为Y1 ???1 ????2 X 21 ????3 X 31 ????????k X k1 ??u1 Y2 ???1 ????2 X 22 ????3 X 32 ????????k X k 2 ??u 2

Yn ???1 ????2 X 2n ????3 X 3n ????????k X kn ??u n

用矩阵表示

?Y1 ???1 X 21 ?Y ???1 X 22 ??2?????

?????????? ??? ?YYn ???1 X 2 n

n ?1

n? k

??X k1 ??????1 ????u1 ?

????????????????u ? ??X k 2 ???2 ????2 ? ????????????

??????????????? ???????????????

? u X

??X kn ??????k ???u n ?

k ?1 n ?1

9

9

矩阵表示方式

总体回归函数

E (Y) = Xβ 或 Y = Xβ + u ?? = 或 ? XβY Y = Xβ + e

样本回归函数

?

其中： Y,Y,u,e 都是有n个元素的列向量

?

β, β 是有k 个 元素的列向量

（ k = 解释变量个数 + 1 ）

X 是第一列为1的n×k阶解释变量数据矩阵 ，

(截距项可视为解释变量总是取值为1)

10

三、多元线性回归中的基本假定

假定1：零均值假定

(=0ui ) ?? E（uE ） 0 （ i=1，2，---n） 或

假定2和假定3：同方差和无自相关假定： 2 Cov ?（） i ??Eu i )(u j ??Eu j )] ??E (ui u j ) ? (ui , i=ju j ) ??E[(u

Cov(ui , u j ) ??E{[ui ??E (ui )][u j ??E (u j )]} ??E (uu?)

???E (u1u1 ) E (u1u2 ) ??E (u u ) E (u u ) 2122 ? ? ?? ??

???E (unu1 ) E (unu2 )

E (u1un ) ??1 0

??0 1 E (u2un ) ?2? ????????????? ???????????? ????????????

E (unun ) ??0 0

(i ??1, 2, n

或用方差-协方差矩阵表示为:

0

(i≠j)

0? j ??1, 2, ?? 0? ??2

???I ? ?? 1?

n)

11

假定4：随机扰动项与解释变量不相关

Cov( X ji , ui ) ??0

( j ??2,3,

, k)

假定5: 无多重共线性假定 (多元中增加的)

假定各解释变量之间不存在线性关系，或各个解 释变量观测值之间线性无关。或解释变量观测值 矩阵X的秩为K(注意X为n行K列)。 Ran(X)= kRak(X'X)=k 即 (X'X) 可逆 假定6:正态性假定

ui ~ N (0,??) 2 2

u ~ N (0, ??I)

12