3.3 三角函数的奇偶性与单调性
【知识网络】1.正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性; 2.正弦、余弦、正切函数的的单调性. 【典型例题】
[例1](1) 已知a?R,函数f(x)?sinx?|a|,x?R为奇函数,则a= ( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1 (1)A 提示:由题意可知,f(?x)??f(x)可得f(0)?0得a=0 (2)函数f?x??tan?x??????的单调增区间为( ) 4?????A.?k??,k???,k?Z B.?k?,?k?1???,k?Z
22??3????3????,k???,k?Z D.?k??,k??C.?k???,k?Z 4444????(2)C 提示:令k???2?x??4?k???2可得
(3)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期 是?,且当x?[0,?2]时,f(x)?sinx,则f(5?)的值为 ( ) 3A.?3311 B. C. ? D.
2222(3)B 提示:f(5?????3)?f(??2?)?f(?)?f()?sin? 333332(4)如果f(x)?sin(x??)?2cos(x??)是奇函数,则tan?? .
(4)-2 由f(?x)??f(x)可得f(0)?0 (5)已知函数y?f(x)满足以下三个条件:
① 在[0,?2]上是增函数 ②以?为最小正周期 ③是偶函数
试写出一满足以上性质的一个函数解析式 . (5)f(x)??cos2x 提示:答案不唯一,如还可写成f(x)?sinx等
[例2]判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)?sin2x?tanx; (2 ) f(x)?1?sinx?cosx;
1?sinx?cosx (3 ) f(x)?cos(sinx); (4 ) f(x)?lgcosx. 解:(1)
f(x)的定义域为x?k???2(k?Z),故其定义域关于原点对称,
又f(?x)?sin(?2x)?tan(?x)??sin2x?tanx??f(x)
?f(x)为奇函数
(2)
x??2时,1?sinx?cosx?2,而x???2时,1?sinx?cosx?0,
?f(x)的定义域不关于原点对称,?f(x)为非奇非偶函数。 (3)
f(x)的定义域为R,又f(?x)?cos(sin(?x))?cos(sinx)?f(x)
?f(x)为偶函数。
(4) 由lgcosx?0得cosx?1,又cosx?1 ?cosx?1,故此函数的定义域为 x?2k,关于原点对称,此时f(x)?0 ?(k?Z) ?f(x)既是奇函数,又是偶函数。
[例3]已知:函数f?x??log1?sinx?cosx?. (1)求它的定义域和值域; (2)判断它
2的奇偶性; (3)求它的单调区间; (4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.
????2sin?x???0?2k??x??2k??? (k?Z)4?4??5????定义域为?2k??,2k?? ?,?k?Z?,
44??????1??2sin?x???0,2 ?值域为??,???.
4???2?(2).?定义域不关于原点对称,?函数为非奇非偶函数
???(3)?sinx?cosx?2sin?x???0
4??3?5?,2k??)(k?Z) ?f(x)的递增区间为[2k??44?3? 递减区间为(2k??,2k??](k?Z)
44解:(1).由sinx?cosx?0???(4).
f?x?2???log1??sin?x?2???cos?x?2?????log1?sinx?cosx??f?x?
22?f(x)是周期函数,最小正周期T?2?.
[例4]已知函数f(x)?sinx?2sinxcosx?3cosx,x?R.求: (I) 函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合; (II) 函数f(x)的单调增区间. 解(I)f(x)?221?cos2x3(1?cos2x)??sin2x??1?sin2x?cos2x?2?2sin(2x?) 224?2k???当2x??4?2,即x?k???8(k?Z)时, f(x)取得最大值2?2. 函数f(x)的取得最大值的自变量x的集合为{x/x?R,x?k?? (II) f(x)?2?2sin(2x?由题意得: 2k??即: k???8(k?Z)}.
?4)
?2?2x??4?2k???2(k?Z)
3???x?k??(k?Z) 883??,k??](k?Z). 88因此函数f(x)的单调增区间为[k??
【课内练习】
1.函数f(x)=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是 ( )
ππ
A.φ=2kπ- ,k∈Z B.φ=kπ- ,k∈Z
66ππ
C.φ=2kπ- ,k∈Z D.φ=kπ- ,k∈Z
331.D 提示:f(x)?sin(2x??)?3cos(2x??)?2sin(2x??? 令??
2.在?ABC中,C??3)
?3?k?可得
?2,若函数y?f(x)在[0,1]上为单调递减函数,则下列命题正确的是
(A)f(cosA)?f(cosB) (B)f(sinA)?f(sinB)
(C)f(sinA)?f(cosB) (D)f(sinA)?f(cosB) 2.C 提示:根据0?A?B??2得0?A??2?B??2所以sinA?sin(?2?B)?cosB
3.同时具有性质“⑴ 最小正周期是?;⑵ 图象关于直线x?
?3
对称;
,]上是增函数”的一个函数是( ) 63x?? A y?sin(?) B y?cos(2x?)
263C y?cos(2x?⑶ 在[????6) D y?sin(2x??6)
3.D 提示:由性质(1)和(2)可排除 A和C ,再求出y?sin(2x?4. 设函数f(x)?xsinx,x?[?( )
A. x1?x2?0
??2,2?6)的增区间即可
],若f(x1)?f(x2),则下列不等式必定成立的是
2B. x12?x2 C. x1?x2 D. x1?x2
4.B提示:易知f(x)?f(|x|),且当x∈x?[0,π]时,f(|x|)为增函数.又由22. f(x1)?f(x2),得f(|x1|)?f(|x2|),故 |x1|?|x2||,于是x12?x25.判断下列函数奇偶性(1)f(x)?|sin2x|?x?tanx是 ;
(2)f(x)?cosx(1?sinx)是 ;
1?sinx (3)f(x)=lg(sinx+1+sin2x)是 . 5.(1)偶函数(2)非奇非偶函数(3)奇函数
提示:先判断函数的定义域是否关于原点对称,然后用奇函数和偶函数的定义判断
1,则f(4cos2?)= . 226. -4 提示:f(4cos2?)?f(8cos??4)?f(?2)?f(3)??f(?3)??4
6.若f(x)是以5为周期的奇函数,f(?3)?4且cos??7.五个函数①f(x)?sinx②f(x)?cos2x③f(x)?sin2x④f(x)?tan(x??)
⑤f(x)?cos2x?sin2x中,同时满足f(x??2)??f(x)且
f(?x)??f(x)的函数的序号为 .
7.③ 提示:①②⑤不满足f(?x)??f(x) ④不满足f(x?8.求下列函数的单调区间.
?2)??f(x)
??1??2x??sin??? (2) y??cos?x?? 2?43?4??1?2x??2x???令u?解:(1).原函数变形为y??sin??,则只需求y?sinu的单调区间
2?34?34?2x??即可.?y?sinu在2k???u???2k??,(k?Z)上
23423?9?即3k??,(k?Z)上单调递增, ?x?3k??88?2x?3?y?sinu在2k???u???2k??,(k?Z),上
2342(1) y?
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