1.4.2 正余弦函数的性质（1）
【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念.
2.会求一些简单三角函数的周期.
【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期 【基础知识】
函数 y?sin(2k??x)?sinx，说明当自变量x的值增加2?的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
问题：（1）对于函数y?sinx，x?R有sin(?6?2?2??)?sin，能否说是它的周期？
336（2）正弦函数y?sinx，x?R是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k?，k?Z且k?0） （3）若函数f(x)的周期为T，则kT，k?Z也是f(x)的周期吗？为什么？ （是，其原因为：f(x)?f(x?T)?f(x?2T)???f(x?kT)）
2．一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R（其中A,?,? 为常数，且
*A?0）的周期T?2? |?|说明：①周期函数x?定义域M，则必有x+T?M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)?f (x0)）
③T往往是多值的（如y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期）周期T中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2? （一般称为周期）
从图象上可以看出y?sinx，x?R；y?cosx，x?R的最小正周期为2?； 判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （f(x)?c没有最小正周期） 3.求周期的方法： （1）公式法：
一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R（其中A,?,? 为常数，且A?0）
的周期T?2? |?|（2）定义法：f (x+T)=f (x)
（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现，并且图像一方（左或者右）无限延伸.y?|sinx|或者y?|cosx|. （4）性质法：你能推出下列函数的周期吗？
①f(x??)??f(x) f(x??)??f(x)?k（其中k为非零常数） ②f(x??)??k（其中k为非零常数） f(x)③f(x??)?1?f(x)1?f(x)， f(x??)?
1?f(x)1?f(x)④f(x)?f(x?1)?f(x?2) ⑤f(x)关于x?a和x?b对称 ⑥f(x)关于(a,0)和(b,0)对称 ⑦f(x)关于x?a和(b,0)对称
【例题讲解】
例1 求下列三角函数的周期： ①y?3cosx ②y?sin2x ③y?2sin(x?
12?6)，x?R．
例2 求下列三角函数的周期： ①y=sin(-x+?3)；② y=cos（-2x）；③y=3sin(x?2+5).
例3 求下列函数的周期： ①y=|sinx|；②y=|cosx|.
【达标检测】1、设a?0，则函数y?sin(ax?3)的最小正周期为（ ）
A、
?a B、?|a| C、2?2?a D、|a| 2、函数f(x)?2cos(kx4??3)?1的周期不大于2，则正整数k的最小值是（A、13 B、12 C、11 D、10 3、求下列函数的最小正周期：
（1）y?sin(?x3??2),T? .
（2）y?cos(2x???6),T? . 4、已知函数y?2sin(?x???3)的最小正周期为
3，则?? . 5、求函数的周期：
）1cosx周期为： . 23x（2）y?sin周期为： . 4（1）y?（3）y?2cos4x周期为： . （4）y?3sin2x周期为： . 46、y?sinx?cosx是周期函数吗？如果是,则周期是多少？
7、函数f(x)?sin(?x)(w?0)在[0,4]与x轴有9个交点，求?的取值范围.
【问题与收获】
参考答案：
例1： ① 2? ② ? ③ 4? 例2： ① 2? ② ? ③ 4? 例3： ① ? ② ?
达标检测：1、D 2、A 3、6? ，1 4、 ?6 5、 2?，
8??， ， ? 32??，k为正整数，最小正周期为. 22???f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cos(x)|+|-sin(x)|=|sin(x)|+|cos(x)|=f(x)。 因此它的周期222?为. 29?) 7、[2?,46、是周期函数，周期T=
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