上海市普陀区2018届高三一模数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集U?{1,2,3,4,5}，若集合A?{3,4,5}，则CUA? 2. 若sin??13?，则cos(??)? 423. 方程log2(2?x)?log2(3?x)?log212的解x? 4. (x?)9的二项展开式中的常数项的值为
1x1?1的解集为 |x?1|x6. 函数f(x)?3sinx?2cos2的值域为
2z1?i7. 已知i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若?0，则z在复平面内所对应的点
12i5. 不等式
所在的象限为第 象限
28. 若数列{an}的前n项和Sn??3n?2n?1（n?N*），则liman? n??3n9. 若直线l:x?y?5与曲线C:x2?y2?16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1y2?x2y1的值为
10. 设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i?1,2,3,4）使得ai?i成立，则满足此条件的不同排列的个数为
11. 已知正三角形ABC的边长为3，点M是?ABC所在平面内的任一动点，若|MA|?1， 则|MA?MB?MC|的取值范围为
x2?y2?1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图像，关于此函 12. 双曲线3数f(x)有如下四个命题：
① f(x)是奇函数；
3333,)或(,?)； 222233③ f(x)的值域是(??,?][,??)；
22② f(x)的图像过点(④ 函数y?f(x)?x有两个零点； 则其中所有真命题的序号为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若数列{an}（n?N*）是等比数列，则矩阵?是（ ）
?a1?a5a2a6a4??所表示方程组的解的个数 a8?A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 不确定
14. “m?0”是“函数f(x)?|x(mx?2)|在区间(0,??)上为增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
15. 用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A. 258cm2 B. 414cm2 C. 416cm2 D. 418cm2
?2x?20?x?116. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)??，且f(x?1)?f(x?1)，则 ?x?1?x?0?4?23x?5函数g(x)?f(x)?在区间[?1,5]上的所有零点之和为（ ）
x?2 A. 4 B. 5 C. 7 D. 8
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图所示的圆锥的体积为线PA的中点.
（1）求该圆锥的侧面积；
（2）求异面直线PB与CD所成角的大小.
18. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降
3?，底面直径AB?2，点C是弧AB的中点，点D是母 3
低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)?12x?x?150万元. 600（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件 送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量
?8?m(60?m)(1?m?30)q(m)??15（单位：件），
?480(m?30)?已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 百分之几？
19. 设函数f(x)?sin(?x??)（??0，|?|??2），已知角?的终边经过点(1,?3)，点
当|f(x1)?f(x2)|?2时，M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图像上的任意两点，|x1?x2|的 最小值是
?. 2（1）求函数y?f(x)的解析式；
（2）已知?ABC面积为53，角C所对的边c?25，cosC?f()，求?ABC的周长.
?4
x2y220. 设点F1、F2分别是椭圆C:2?2?1（t?0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点
2tt点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量F1M与 F2的距离的最小值为22?2，
向量F2N平行.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当F1N?F2N?0时，求?F1MN的面积； （3）当|F2N|?|F1M|?6时，求直线F2N的方程.
21. 设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足Tn?（n?N*），且d?a5?b2，若实数m?Pk?{x|ak?21n?(?1)bn n2?x?ak?3}（k?N*，k?3），则称
m具有性质Pk.
（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；
（2）设Sn为数列{an}的前n项和，若{Sn?2?an}是单调递增数列，求证：对任意的k（k?N*，k?3），实数?都不具有性质Pk；
（3）设Hn是数列{Tn}的前n项和，若对任意的n?N*，H2n?1都具有性质Pk，求所有满足条件的k的值.
普陀区2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准
一、填空题
1
?1,2?
7
一
二、选择题
2 1 48
3 4 5
[0,1)(1,2]
6
[?1,3]
?1 9
?84 10
11
[0,6]
12 ①②
?2 16 15
13 C
三、解答题
17.（1）由圆锥的体积V?14 A 15 C 16 B
1AB23???()?OP??， …………………………… 2分 323得OP?3，即PB?OP2?OB2?2, …………………………………………… 4分
则该圆锥的侧面积为S?11?2??OB?PB??2??1?2?2?. …………………… 6分 22是异面直线PB与CDP （2）联结O,D，由条件得OD//PB，即?CDO所成角或其补角， …………………………………… 2分
点C是弧AB的中点，则CO?AB,又PO为该圆锥的高，
则PO?CO,即CO?平面PAB，…………………………… 4分 OD在平面PAB内，则CO?OD，即?CDO为直角三角形，
D1?PB?1?CO，则?CDO?，…………………… 7分 24?即异面直线PB与CD所成角的大小为.……………………… 8分
4又DO?
18.（1）由题意得每台机器人的平均成本为
AOBC17题图 p(x)1150?x??1 …………………2分 x600xx150??1?2……………………4分 600x ?2x150(x?N*)，即x?300时取等号， ?600x则要使每台机器人的平均成本最低，应买300台. ………………………………………6分
8m(60?m) （2）当1?m?30时，每台机器人日平均分拣量q(m)?158??(m?30)2?480，当m?30时，每台机器人的日平均分拣量最大值为480……2分
15当且仅当
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