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第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析习题与解答
5.1 判断下列函数的正定性
1) V(x)?2x12?3x22?x32?2x1x2?2x1x3 2) V(x)?8x12?2x22?x32?8x1x2?2x1x3?2x2x3 3) V(x)?x12?x32?2x1x2?x2x3 解
?2?11??TT? 1) V(x)?xAx?x?130x, 因为顺序主子式
????101??2?0,2?112?1?5?0, ?130?2?0
?13101所以A?0，V(x)为正定函数。
?8?41??TT? 2) V(x)?xAx?x?42?1x, 因为主子式
????1?11??8,2,1?0,8 ?48?4?0,?42181?7?0,112?1?1?0,
?11?42?1?1?16?4?4?2?16?8?0 11所以A不定，V(x)为不定函数。
?1?10??TT?3) V(x)?xAx?x?1012x, 因为顺序主子式
??1?1?2?0?1?0,1?101?11??1?0, ?1012?0?1??0
4?100121所以A为不定矩阵，V(x)为不定函数。
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5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。
?1??x1?x2?x1(x12?x22)x?2??x1?x2?x2(x?x2)x 解
212
??x1?x2?x1(x12?x22)?0解方程组 ?只有一个实孤立平衡点（0，0）。 22??x1?x2?x2(x1?x2)?0??11?**?在（0，0）处将系统近似线性化，得x???x，由于原系统为定常系统，且
?1?1??矩阵???11?的特征根s??1?i均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，???1?1?
0）附近一致渐近稳定。
5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。
??11????xx ??2?3? 解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普诺夫第一方法比较合适。经计算知矩阵???11?的特征根为?2?3?0。由于第一??2?3?方法关于线性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。
5.4 设线性离散时间系统为
10??0?x(k) m>0
x(k?1)??001????0m20??试求在平衡状态系统渐近稳定的m值范围。 解 方法1
T 令Q?I,建立离散系统李雅普诺夫方程GPG?P??Q，得
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?000??p11??? ?10m?p122????p?010??13
p12p22p23p13??010??p11???p23??001???p12???p33?m??00??p13?2??p12p22p23p13??100??010?
p23???????p33???001????00??0P?mp13?(p?mp33)?m1113?222?mp?0p12?23?2比较系数，解此矩阵方程得
??0??p11mp23??P??p12122?????p13?p22??0??0?
?12??24?m?p12p22p23p13??100??010?
p23???????p33???001???0?1?28?m P??0?4?m2??00?若要P?0，应有
128?m2?0 ?0；
4?m24?m2解上述不等式组，知0?m?2时，原系统在原点是大范围渐近稳定。
方法2 由
ss?I?A?0?1s0?1= ss2?s0?m2知系统特征根分别为s1?0；s2??m系统在原点是大范围渐近稳定。
5.5 试用李雅普诺夫方法求系统
m 22，s3?m，因此只有0?m?2时，原2a??a???1112?x x?a21a22?在平衡状态x?0为大范围渐近稳定的条件。
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解 由于对于线性系统，李雅普诺夫第一方法中结论是全局性的，是充分必要的。这里利用第一方法求解比较简单。首先求出系统矩阵的特征方程
sI?A?s?a11?a21?a12?s2?(a11?a22)s?a11a22?a12a21?0
s?a22由一元二次方程根与系数的关系可知两个特征值同时具有负实部的充要条件为
a11?a22?0，a11a22?a12a21。
5.9下面的非线性微分方程式称为关于两种生物个体群的沃尔特纳(Volterra)方程式
dx1?ax1??x1x2dt
dx2??x2??x1x2dt式中，x1、x2分别是生物个体数，?、?、?、?是不为零的实数。关于这个系统，(1) 试求平衡点；(2) 在平衡点的附近线性化，试讨论平衡点的稳定性。 解
(1) 由
dxdx1?0，2?0，得 dtdt??x1??x1x2?x1(???x2)?0 ???x2??x1x2?x2(???x1)?0同时满足这二式的x1、x2有两组：x1?0、x2?0和x1???/?、x2???/?。即，系统的平衡点为：
平衡点(a) x1?0、x2?0
平衡点(b) x1???/?、x2???/? (2) 分两种情况讨论平衡点的稳定性。 ① 在平衡点(a)线性化的微分方程为
**?1?x???0??x1????*????*? 0????x2??x2??其特征方程式是
(s??)(s??)?0
??0、??0时，平衡点(a)稳定，除此以外不稳定。
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??② 在平衡点(b)，令x1???/??x1，x2???/??x2，得
*?1x?(???x2???x2 x????*???2x?(???x1x???/?)x2?(?x2x???/?)x1??x1
12?2??)x?(?x)x??112???/?x???/?1因此，在平衡点(b)线性化的微分方程式是
*?1?x??0?*????2?????/??x*???/???x1???*? ?0??x2?其特征方程式为
s2????0
???0时，特征根是???，为正、负实数，平衡点(b)不稳定。???0时，特征根
是?j
5.11 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：
??，为共轭纯虚数，平衡点(b)的稳定性在这样的线性化范围内不能决定。
??11????xx ??2?3?解 令矩阵
?p11P???p12则由AP?PA??I得
Tp12? ?p22?p12???11???10??2?3???0?1? p22????????12??p11?1?3??p???12解上述矩阵方程，有
p12??p11??p22???p12?p11?74?2p?4p??1??1112??p?4p?2p?0 ??11?p22?38 1222?2p?6p??1?22?12?p12?58?即得
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