【知识考点】圆的综合题．
【思路分析】（1）先判断出PA＝PC，得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论； （2）先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2＝OP?OD，进而得出结论；
（3）在Rt△ADF中，设AD＝a，得出DF＝3a．OD＝定理得出OD2+AD2＝AO2，即可得出结论． 【解题过程】（1）证明∵D是弦AC中点， ∴OD⊥AC，
∴PD是AC的中垂线， ∴PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°． 又∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA， ∴PA是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°， ∴Rt△AOD∽Rt△POA， ∴
，
BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4，最后用勾股
EF2＝OP?OD，即可得出
∴OA2＝OP?OD． 又OA＝
EF，
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∴
EF2＝OP?OD，即EF2＝4OP?OD．
（3）解：在Rt△ADF中，设AD＝a，则DF＝3a． OD＝
BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4．
，
∵OD2+AD2＝AO2，即42+a2＝（3a﹣4）2，解得a＝∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝
．
【总结归纳】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出Rt△AOD∽Rt△POA是解本题的关键．
28．（9分）如图，抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线y＝x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y＝t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；
（3）在抛物线y＝x2+bx+c上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．
【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴
，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5，（﹣1＜x＜5），新图象与直线y＝t恒有四个交点，则0＜t＜9，由
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解得：x＝2，即可求解；
（3）分m、n在函数对称轴左侧、m、n在对称轴两侧、m、n在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．
【解题过程】解：（1）抛物线的对称轴是x＝2，且过点A（﹣1，0）点，∴
，解得：
，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣4x﹣5； （2）y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
2则x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：y＝﹣（x﹣2）+9＝﹣x2+4x+5，（﹣1＜x＜5），
其顶点为（2，9）．
∵新图象与直线y＝t恒有四个交点，∴0＜t＜9， 设E（x1，y1），F（x2，y2）． 由
解得：x＝2
，
∵以EF为直径的圆过点Q（2，1）， ∴EF＝2|t﹣1|＝x2﹣x1， 即2
＝2|t﹣1|，解得t＝
，
又∵0＜t＜9， ∴t的值为
；
（3）①当m、n在函数对称轴左侧时， m≤n≤2，
由题意得：x＝m时，y≤7，x＝n时，y≥m，
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即：解得：﹣2≤x
， ；
②当m、n在对称轴两侧时， x＝2时，y的最小值为9，不合题意； ③当m、n在对称轴右侧时， 同理可得：
≤x≤6；
或
≤x≤6．
故x的取值范围是：﹣2≤x
【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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