近世代数 - 杨子胥 - 第二版课后习题答案（最新发行版）

1)定理2指出，从循环群可定出其自同构群的阶． 2)从教材本节例1和上节例2知； Aut R主5：宣5J／Ki“

从而Nein四元群K4的自同构群是非常清楚的，它是一个6阶非交换群，而且其元素的阶以及子群和正规子群的状况都很清楚．

3)本节习题第6题指出，无中心群的自同构群仍是一个无中心群，从而由教材第二章§6定理6可知．当n≥3时，Sn的自同构群是一个无中心群．

2．群G中元素a与b确定同一个内自同构(?a＝?b)的无要条件是： aC＝bC (a，b?C)．

即a与b在同一个(关于C的)陪集中．因此，有多少个关于C的陪集就有多少个G的内自同构，即︱InnG︳＝(G︰C)。其实这一点也是同构InnG?G／C的直接结果，即

3．群G的自同构群显然是G上对称群S(G)(G的全体双射变换关于变换乘法作成的群)的一个子群，即

进一步，由于群的每个自同构部保持单位元e不变，因此实际上更有

4．由于

全特征子群?特征子群?正规子群,

故特征子群是一类特殊的正规于群，而全特征子群又是一类特殊的特征子群．

我们知道，正规子群是不可传递的，即正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群．但是，对于特征子群和全待征子群来说，却是可以传递的．即若G1是群G2的(全)持征子群，又

G2是群G3的(全)持征子群，则G1必是G3 的(全)特征子群．这个证明并不难，留给读者作为练习．

三、习题§3．5解答 1.

2.

3.

4. 证 因为中心 Inn G?G／C?G． 因此，G?InnG． 5.

，而G是非交换单群，故只有C＝{e}．从而由定理4知：