练习题一
第一大题 判断题（说明理由）
1、若
?an?1?n收敛，则
?an?1?n收敛。
2、f(x)????0,?1,x为有理数x为无理数在[0,1]内可积。
3、级数
1n?1n2()是收敛的。 ?nnn?144、函数项级数
?n?1?sinnx3n?x76在实数集R上一致收敛。
第二大题 计算题
nsinx?cosxkdx1、求?。 2、求极限lim?3。
5n??sinx?cosxk?1n23、求limx?0?x20ln(1?t2)dtx6。
4、计算曲线x?2(t?sint)，y?2(1?cost) (0?t?2?)的弧长。
第三大题 判敛题
n2n?cos1、判断级数?n绝对收敛、条件收敛还是发散。 23n?1?2、判断无穷积分
???1sin2xdx的敛散性。 x?n?1n?1第四大题 求幂级数?(?1)nx的收敛域及和函数。
n?1第五大题 计算题
1、把f(x)?cosx展开成x的幂级数。 2、把f(x)?x在(??,?]展开成傅里叶级数。
2第六大题 证明：limn???nn?pcos2xdx?0，其中p为正整数。 x?xnf(x)。 第七大题 设函数f(x)??ncosn?x2，求limx?1n?03
练习题二
第一大题 判断题（说明理由）
21111dx?(?)??1。 1、由于(?)??2，所以?2?2xxxx?222、若liman?0，则
n???an?1?n一定收敛。
?3、若正项级数
??an收敛，则?n?1n?1?ann一定收敛。
n2n?4、级数?ncos是绝对收敛的。
5n?13第二大题 计算题
n1?x23ndx。 2、求极限。 3、求limlim?422x?0n??xk?1n?k1、求
??x20et?1dt1?t。 4x4、求由曲线xy?2与直线x?y?3所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。
5、设
f(x)??edt，求?f(x)dx。
10x?t21第三大题 判敛题
1、判别级数
n?1（?1）?n?1?n?31?3的敛散性。 n?1n2、判断无穷积分
???1sin2xdx的敛散性。 3x?x?2xn第四大题 求幂级数?n?1n?的收敛域及和函数。
第五大题 计算题
1、把f(x)?1展开成x的幂级数。
x2?5x?42、把f(x)????2,?2,???x?0在(??,?]展开成傅里叶级数。
0?x????20n第六大题 证明：?sinxdx??02cosnxdx （n为正整数）。 第七大题 设函数f(x)??
2?1，求sinnxf(x)dx。 n?0n?02?练习题一答案
第一大题 判断题
??11(?1)?a?a解：1.错误。?n收敛，但?n发散。 ??nnn?1n?1n?1n?1??n2.错误。将[0,1]用任意分法T分为n个小闭区间[x0,x1],?,[xk?1,xk],?,[xn?1,xn]，（其中，则在每一个小闭区间[xk?1,xk]（k?1,?,n）上，Mk?1，mk?0，x0?0,xn?1）
?k?Mk?mk?1。lim3.正确。limnun?n??l(T)?0???xkk?1nk?1?0，所以f(x)在[0,1]上不可积。
e?1，原级数收敛。 44.正确。sinnxn?x763?13n?x76?1n73，而
?n?1?1n73收敛，所以由M判别法可知
?n?1?sinnx3n?x76
在实数集R上一致收敛。
第二大题 计算题
sinx?cosx155dx?d(sinx?cosx)?(sinx?cos)?C 解：1. ??554sinx?cosxsinx?cosx4nn32. limk1n????limk?13n???1k?x2nk?1nn?10xdx?2230?23 x223.
lim?0ln(1?t)dtx?0 = lim2xln(1?x4)2x5x6x?06x5=limx?06x5?13
4. s??2?0[(2(t?sint))?]2?[(2(1?cost))?]2dt?2?2?4sin2t02dt
2??8(?cost2)?16
0第三大题 判敛题
??1.
?n2n??，而n2n?n2n?1?n2n?2ncos3n?12ncos32ncos3?2n，
?可由比值法的极限形式证明?n22n收敛，
n?1?于是??n2cosn?收敛，即?n2n?13n5cosn?n?13n5绝对收敛。
2. 设f(x)?1x，g(x)?sin2x。f(x)?11x在[1,??)单调，且xlim???x?0，
?A?1?A1A1sin2xdx?2?1sin2xdx?112cos2A?cos2?2(cos2A?cos2)?1 由狄里克雷判别法知
???sin2x1xdx收敛。 第四大题 计算题
解：liman?1n??a?limn?1?1，所以收敛半径R?1。nn??n
??当x?1时，级数为
?(?1)n?1n，发散； 当x??1时，级数为?n，发散； n?1n?1于是幂级数的收敛域为(?1,1)。
，
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