半角模型
已知如图:①∠2=∠AOB;②OA=OB.
12O123FEAB
连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE, 可得△OEF≌△OEF′
OF'4123FEA模型分析
∵△OBF ≌△OAF′, ∴∠3=∠4,OF=OF′. ∴∠2=∠AOB,
∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2
又∵OE是公共边, ∴△OEF≌△OEF′.
(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; (3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°.
模型实例
例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N. (1)求证:BM+DN=MN.
(2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB.
12B
1
证明:(1)延长ND到E,使DE=BM,
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB. 在△ADE和△ABM中, ?AD?AB? ??ADE??B
?DE?BM? ∴△ADE≌△ABM.
∴AE=AM,∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°. 在△AMN和△AEN中, ?MA?EA? ??MAN??EAN
?AN?AN? ∴△AMN≌△AEN. ∴MN=EN.
∴BM+DN=DE+DN=EN=MN.
(2)由(1)知,△AMN≌△AEN. ∴S△AMN=S△AEN.
11 即AH?MN?AD?EN.
22 又∵MN=EN, ∴AH=AD. 即AH=AB.
2
例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且 ∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在线段AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系.
(1)如图①,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是_______________;
(2)如图②,当DM≠DN时,猜想(1)问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明.
图① 图②
解答
(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN. (2)猜想:BM+NC=MN.
证明:如图③,延长AC至E,使CE=BM,连接DE. ∵BD=CD,且∠BDC=120°, ∴∠DBC=∠DCB=30°. 又∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°. ∴∠MBD=∠NCD=90°. 在△MBD与△ECD中,
∵DB=DC,∠DBM=∠DCE=90°,BM=CE, ∴△MBD≌△ECD(SAS). ∴DM=DE,∠BDM=∠CDE. ∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°. 在△MDN和△EDN中,
∵MD=ED,∠MDN=∠EDN=60°,DN=DN, ∴△MDN≌△EDN(SAS). ∴MN=NE=NC+CE=NC+BM.
3
图③
例3 如图,在四边形ABCD中,∠B+∠ADC=180°,AB=AD,E、F分别是BC、CD延 长线上的点,且∠EAF=
1∠BAD.求证:EF=BE-FD. 2
证明:在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF.
在△ABG和△ADF中, ?AB?AD? ??B??ADF
?BG?DF? ∴△ABG ≌△ADF(SAS). ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF. ∴∠GAF=∠BAD.
11∠BAD=∠GAF. 22 ∴∠GAE=∠EAF. 在△AEG和△AEF中, ∴∠EAF=?AG?AF? ??GAE??FAE
?AE?AE? ∴△AEG ≌△AEF(SAS). ∴EG=EF.
4
∵EG=BE-BG, ∴EF=BE-FD.
跟踪练习:
1.已知,正方形ABCD,M在CB延长线上,N在DC延长线上,∠MAN=45°. 求证:MN=DN-BM.
【答案】
证明:如图,在DN上截取DE=MB,连接AE, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠D=∠ABC=90°. 在△ABM和△ADE中, ?AD?AB? ??D??ABM
?BM?DE? ∴△ABM≌△ADE.
∴AM=AE, ∠MAB=∠EAD . ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN, ∴∠DAE+∠BAN=45°. ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN. 在△AMN和△AEN中, ?AM?AE? ??MAN??EAN
?AN?AN? ∴△ABM≌△ADE.
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