2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一

个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

x2?x(1)曲线y?2渐近线的条数 ( )

x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数y(x)?(ex?1)(e2x?2)(enx?n),其中n为正整数,则y?(0)? ( )

(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D)

(?1)nn!

(3)如果函数f(x,y)在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )

(A)若极限limx?0y?0f(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微. x?yf(x,y)存在,则f(x,y)在(0,0)处可微. 22x?yf(x,y)存在. x?yf(x,y)存在. 22x?y(B)若极限limx?0y?0(C)若f(x,y)在(0,0)处可微,则极限limx?0y?0(D)若f(x,y)在(0,0)处可微,则极限limx?0y?0k?2(4)设Ik??0exsinxdx,(k?1,2,3)，则有 ( )

(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3

?0??0??1???1????????α?1α??1α?(5)设α1??, , ,0234?????1?,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向???c??c??c??c??2??3??4??1?量组线性相关的为 ( )

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(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4

?100??(6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010??.若P??α1,α2,α3?，

?002???Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ? ( )

?100??100??200??200????????(A)? (B) (C) (D)020010010020????????

?001??002??002??001?????????(7)设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则

P?X?Y??( )

(A) (B) (C) (D)

(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )

(A) 1 (B) (C) ? (D) ?1

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9)若函数f(x)满足方程f''(x)?f'(x)?2f(x)?0及f''(x)?f(x)?2e，则f(x)?_____.

(10)?x2x?x2dx=____.

02151325451212

(11)grad(xy+)

(12)设????x,y,z?x?y?z?1,x?0,y?0,z?0?，则??y2ds?_____.

?zy(2,1,1)?_____.

(13)设?为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E???T的秩为 .

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11C是随机文件，A与C互不相容，P?AB??,P?C??,PABC? . (14)设A，B，

23三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文．．．

??字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)

1?xx2?cosx?1?,(?1?x?1). 证明 xln1?x2

(16)(本题满分10分)

求函数f(x,y)?xe?x2?y22的极值.

(17)(本题满分10分)

4n2?4n?32n求幂级数x的收敛域及和函数.

2n?1n?0??

(18)(本题满分10分) 已知曲线L:??x?f(t),?(0?t?),其中函数f(t)具有连续导数，且

2?y?cost,f(0)?0,f'(t)?0(0?t?)，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数2f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积.

?

(19)(本题满分10分)

已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2?2x到点(2,0)，再沿圆周x2+y2?4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分J??3x2ydx?(x3?x?2y)dy.

L

(20)(本题满分11分)

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?1?0设A???0??aa1000a100??0?,?a?1??1????1????. ?0????0?(Ⅰ）计算行列式；

(Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.

(21)(本题满分11分)

?1?0已知A????1??001??11?，二次型f(x1,x2,x3)?xT(ATA)x的秩为2. 0a??a?1?(Ⅰ）求实数a的值；

(Ⅱ）求正交变换x?Qy将f化为标准形.

(22）(本题满分11分）

设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为 Y 0 1 X 0 1 2

(Ⅰ)求P?X?2Y?； (Ⅱ)求Cov(X?Y,Y).

(23)(本题满分11分)

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2 1 41 4 0 1 3 0 1 12 0 1 12 0 乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！

设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(u,?2)与N(u,2?2)，其中?是未知参数且??0。设Z?X?Y. (Ⅰ)求Z的概率密度f(z;?2);

(Ⅱ）设z1,z2,,zn为来自总体Z的简单随机样本，求?2的最大似然估计量?2; (III）证明?2为?2的无偏估计量.

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